Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcule a(s) derivada(s) da função
.
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
- A função é
. - Essa expressão significa
. - A função não está definida em
, logo qualquer derivada só pode ser considerada para . - O objetivo principal é encontrar
, a derivada primeira de .
Passo 2
O que é derivada (lembrete curto e suave)?
A derivada mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Pela definição limite,
A derivada
Essa definição é a base, mas para funções do tipo potência existe uma regra direta (muito útil na prova) que nos poupa trabalho.
Passo 3
Apresentando a regra que vamos usar (Regra da potência):
Seja um número inteiro (ou mesmo real, com cuidados de domínio). Para a função
vale a fórmula
Seja
O que isso significa: pega-se o expoente
, multiplica-se a função por esse expoente e subtrai-se
do expoente. Ex.: se
, então
. Aqui
é o expoente e
é a variável.
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao caso
: aqui
. Aplicando diretamente,
Expliquei passo a passo: multiplica o termo por
e diminui o expoente
em
, obtendo
.
Passo 5
Escrevendo a resposta em forma de fração (às vezes mais clara em provas):
Lembrete de domínio: essa expressão só faz sentido para
, pois em
a função original não existe.
Passo 6
Verificação alternativa rápida (pra você ficar confiante): usar a regra do quociente em
. Seja
e
. Como
e
, pela regra do quociente
o que coincide com o resultado acima. Ótimo sinal de que está certo.
Passo 7
Dica de prova/tempo: lembrar a frase curta “traz o expoente pra frente e diminui 1 no expoente” funciona para qualquer
com cuidado no domínio quando
é negativo. Para este problema, aplique isso direto e depois escreva em forma de fração se quiser uma resposta limpa.