Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=x^{-3}

Passo 1

O enunciado pede: calcule a(s) derivada(s) da função f(x)=x^{-3}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é f(x)=x^{-3}.
  • Essa expressão significa f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}.
  • A função não está definida em x=0, logo qualquer derivada só pode ser considerada para x\neq 0.
  • O objetivo principal é encontrar f'(x), a derivada primeira de f.

Passo 2

O que é derivada (lembrete curto e suave)?
A derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Pela definição limite,
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Essa definição é a base, mas para funções do tipo potência existe uma regra direta (muito útil na prova) que nos poupa trabalho.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar (Regra da potência):
Seja n um número inteiro (ou mesmo real, com cuidados de domínio). Para a função g(x)=x^{n} vale a fórmula
g'(x)=n x^{n-1}.
O que isso significa: pega-se o expoente n, multiplica-se a função por esse expoente e subtrai-se 1 do expoente. Ex.: se g(x)=x^{5}, então g'(x)=5x^{4}. Aqui n é o expoente e x é a variável.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao caso f(x)=x^{-3}: aqui n=-3. Aplicando diretamente,
f'(x) = -3 \, x^{-3-1} = -3\, x^{-4}.
Expliquei passo a passo: multiplica o termo por -3 e diminui o expoente -3 em 1, obtendo -4.

Passo 5

Escrevendo a resposta em forma de fração (às vezes mais clara em provas):
-3\,x^{-4} = -\dfrac{3}{x^{4}}.
Lembrete de domínio: essa expressão só faz sentido para x\neq 0, pois em x=0 a função original não existe.

Passo 6

Verificação alternativa rápida (pra você ficar confiante): usar a regra do quociente em f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}. Seja u(x)=1 e v(x)=x^{3}. Como u'(x)=0 e v'(x)=3x^{2}, pela regra do quociente
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{0 - 1\cdot 3x^{2}}{(x^{3})^{2}}=-\frac{3x^{2}}{x^{6}}=-3x^{-4},
o que coincide com o resultado acima. Ótimo sinal de que está certo.

Passo 7

Dica de prova/tempo: lembrar a frase curta “traz o expoente pra frente e diminui 1 no expoente” funciona para qualquer x^{n} com cuidado no domínio quando n é negativo. Para este problema, aplique isso direto e depois escreva em forma de fração se quiser uma resposta limpa.

Resposta

f'(x)=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^{4}}

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