Calcule as derivadas das funçōes abaixo: h(t)=(e^(t^2) cos (t), ln (t sin (t))) ;

Passo 1

O enunciado pede a derivada do campo vetorial h(t)=(h1(t),h2(t)) com h1(t)=e^t^2cos t e h2(t)=lnl(tsin tr). Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de log.

Passo 2

Para h1(t)=e^t^2cos t, aplicamos a regra do produto: derivada de ucdot v é u'v+uv'. Aqui u=e^t^2 e v=cos t. Temos:
ddte^t^2=e^t^2cdot 2t,
ddtcos t=-sin t
Logo,
ddth1(t)=e^t^2cdot(-sin t)+(2t e^t^2)cdotcos t=e^t^2(-sin t+2tcos t)

Passo 3

Para h2(t)=lnl(tsin tr), usamos ddtln w=w'w com w=tsin t. Calculamos
w'=ddt(tsin t)=1cdotsin t + tcdotcos t=sin t + tcos t
Assim,
ddth2(t)=sin t+tcos ttsin t=1t+cot t

Resposta

A derivada é:
h'(t)=l(e^t^2(-sin t+2tcos t),,tfrac1t+cot tr)

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