Determine f^prime(t), f^prime prime(t) e integral0^2 pi f(t) d t das seguintes integrais abaixo:
f(t)=(cos t, sin t). Não calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas de uma função vetorial e expressar a integral definida sem avaliá-la. O conteúdo envolve derivada e integral de funções vetoriais, usando regras de derivação de funções trigonométricas e definição de integral componente a componente.

Passo 2

Para achar a derivada de uma função vetorial, aplicamos a derivada em cada componente individualmente. A derivada de cos t é -sin t e a de sin t é cos t.
Para obter a segunda derivada, derivamos novamente cada componente de f'(t). A derivada de -sin t é -cos t e a de cos t é -sin t.

Passo 3

A definição de integral de uma função vetorial f(t)=(f1(t),f2(t)) é feita componente a componente. Basta montar o vetor com as integrais de cos t e sin t no intervalo de 0 a 2pi, sem calcular os valores numéricos dos limites.
Como o enunciado pede para não calcular a integral, deixamos a expressão no formato de integral definida para cada componente.

Resposta

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