Determine se a série a seguir converge ou diverge e, se for o caso, encontre o tipo de convergência.
sumk=1^infty(-1)^k+1(k+1) e^-k
Dica: Testar a divergência: realizar o teste do tipo de convergência que não depende de sinais; caso negativo, realizar o teste do tipo de convergência que depende dos sinais…

Passo 1

O enunciado apresenta a série alternada
sumk=1^infty(-1)^k+1(k+1)e^-k
O conteúdo é convergência de séries numéricas e vamos precisar dos testes de divergência e de convergência absoluta (teste da razão).

Passo 2

Começamos pelo teste da divergência, que diz que se aknrightarrow0 então a série diverge. Aqui
ak = (-1)^k+1(k+1)e^-k,
e
limktoinftyak = limktoinfty(k+1)e^-k = 0
pois e^k cresce muito mais rápido que k+1. Logo, não há divergência imediata.

Passo 3

Agora avaliamos a convergência absoluta, ou seja, a série
sumk=1^infty|ak|=sumk=1^infty(k+1)e^-k
Usamos o teste da razão: seja
L = limktoinfty(k+2)e^-(k+1)(k+1)e^-k
Em seguida,
L = limktoinftyk+2k+1e^-1 = e^-1 < 1
Como L<1, a série de termos positivos converge, portanto a série original converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que, por convergir a série de valores absolutos, a série alternada converge de forma absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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