Calcule as derivadas das funçōes abaixo: f(t)=(1-cos (t)t, ln (t^2-3 t+1));

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial f(t)=l(1-cos tt, ln(t^2-3t+1)r). Isso envolve o conteúdo de derivada de quociente (para a primeira componente) e derivada de função composta (para a segunda componente).

Passo 2

Para a primeira componente definimos u(t)=1-cos tt. Aplicamos a regra do quociente: se u(t)=N(t)D(t) então
u'(t)=N'(t)D(t)-N(t)D'(t)[D(t)]^2
Aqui N(t)=1-cos t e D(t)=t, logo N'(t)=sin t e D'(t)=1.

Passo 3

Substituindo, obtemos
u'(t)=sin tcdot t - (1-cos t)cdot1t^2 = tsin t -1 +cos tt^2

Passo 4

Para a segunda componente definimos v(t)=ln(t^2-3t+1). Usando a regra da cadeia para ln(g(t)):
v'(t)=g'(t)g(t),
onde g(t)=t^2-3t+1 e g'(t)=2t-3. Portanto
v'(t)=2t-3t^2-3t+1

Passo 5

Por fim, juntamos as derivadas das duas componentes para obter a derivada vetorial:
f'(t)=l(u'(t),v'(t)r)=l(tsin t +cos t-1t^2,2t-3t^2-3t+1r)

Resposta

f'(t)=l(tsin t +cos t-1t^2,2t-3t^2-3t+1r)

Exercícios relacionados