Calcule as derivadas das funções abaixo:
h(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função h e pede a derivada de h:
  • Função dada: h(x)=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}.
  • Pedido: calcular h'(x), a derivada de h em função de x.

Passo 2

Uma ideia que facilita a diferenciação é reescrever a função como produto, usando a propriedade e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}. Assim:
h(x)=x^{2}\,e^{-x}.
Reescrever evita usar diretamente a regra do quociente e facilita usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Lembrar da regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\big(u(x)v(x)\big)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui escolhemos
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=e^{-x}.

Passo 4

Calcular u'(x). Aplicando a regra da potência (regra básica):
\text{Se }u(x)=x^{n}\text{ então }u'(x)=n x^{n-1}.ã
Portanto, para u(x)=x^{2},
u'(x)=2x.

Passo 5

Calcular v'(x). Como v(x)=e^{g(x)} com g(x)=-x, usamos a regra da cadeia combinada com a derivada do exponencial:
  • Derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}.
  • Pela regra da cadeia, v'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
    Aqui g'(x)=-1. Logo
v'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto com os resultados:
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
h'(x)=2x\cdot e^{-x}+x^{2}\cdot(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} (que é comum nos dois termos):
h'(x)=e^{-x}\big(2x-x^{2}\big).
Outra forma equivalente, escrevendo sem exponencial negativo, é
h'(x)=\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}}.

Passo 7

Como verificação opcional (útil na prova): aplicar a regra do quociente em h(x)=\dfrac{x^{2}}{e^{x}}. A regra do quociente diz que, para f/g,
\Big(\dfrac{f}{g}\Big)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^{2}}.
Com f(x)=x^{2}, f'(x)=2x; g(x)=e^{x}, g'(x)=e^{x}. Assim
h'(x)=\dfrac{2x\cdot e^{x}-x^{2}\cdot e^{x}}{e^{2x}}=\dfrac{e^{x}(2x-x^{2})}{e^{2x}}=\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}},
confirmação da mesma expressão encontrada antes. Vai firme — essa é a resposta que deve ser apresentada na prova.

Resposta

\displaystyle h'(x)=e^{-x}\big(2x-x^{2}\big)=\dfrac{2x-x^{2}}{e^{x}}=\dfrac{x(2-x)}{e^{x}}

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