Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Uma ideia que facilita a diferenciação é reescrever a função como produto, usando a propriedade
. Assim:
Reescrever evita usar diretamente a regra do quociente e facilita usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Lembrar da regra do produto: se
e
são funções, então
Aqui escolhemos
Passo 4
Calcular
. Aplicando a regra da potência (regra básica):
Portanto, para
,
Passo 5
Calcular
. Como
com
, usamos a regra da cadeia combinada com a derivada do exponencial:
- Derivada de
em relação a é . - Pela regra da cadeia,
.
Aqui. Logo
Passo 6
Aplicar a regra do produto com os resultados:
Substituindo
:
Fatorando
(que é comum nos dois termos):
Outra forma equivalente, escrevendo sem exponencial negativo, é
Passo 7
Como verificação opcional (útil na prova): aplicar a regra do quociente em
. A regra do quociente diz que, para
,
Com
,
;
,
. Assim
confirmação da mesma expressão encontrada antes. Vai firme — essa é a resposta que deve ser apresentada na prova.