Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada:
- Dado:
. - Pedido: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Identificar uma estratégia: a função
é produto de duas funções de
. Para derivar um produto usa-se a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte:
Aqui
e
são quaisquer funções diferenciáveis;
e
são as derivadas delas. Essa fórmula significa: “deriva a primeira, multiplica pela segunda, e soma com a primeira multiplicada pela derivada da segunda”.
Passo 3
Escolher convenientemente as funções
e
no produto:
Passo 4
Derivar
. Para isso é útil escrever a exponencial com base
em termos da exponencial natural:
Derivando
em relação a
e usando a regra da cadeia (derivada de
é
vezes a derivada do “algo”) obtemos:
Aqui
é o logaritmo natural de
, que aparece porque a base da exponencial não é
.
Passo 5
Derivar
. É uma derivada padrão das funções trigonométricas:
Intuição rápida: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos:
Substituindo
,
,
e
, vem
Agrupando termos e fatorando
em comum:
Passo 7
Resumo e observação final: a derivada está expressa de forma compacta fatorando
. Essa forma é útil na prova porque mostra claramente as duas contribuições (a da exponencial e a da trigonométrica) e facilita substituições ou análise de zeros.