Calcule as derivadas das funções abaixo:
g(t)=3^{t} \cos t

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede a sua derivada:
  • Dado: g(t)=3^{t}\cos t.
  • Pedido: calcular g'(t), a derivada de g em relação a t.

Passo 2

Identificar uma estratégia: a função g(t) é produto de duas funções de t. Para derivar um produto usa-se a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte:
\text{Se }h(t)=u(t)\,v(t)\text{ então }h'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).ã
Aqui u(t) e v(t) são quaisquer funções diferenciáveis; u'(t) e v'(t) são as derivadas delas. Essa fórmula significa: “deriva a primeira, multiplica pela segunda, e soma com a primeira multiplicada pela derivada da segunda”.

Passo 3

Escolher convenientemente as funções u e v no produto:
u(t)=3^{t},\qquad v(t)=\cos t.

Passo 4

Derivar u(t)=3^{t}. Para isso é útil escrever a exponencial com base 3 em termos da exponencial natural:
3^{t}=e^{t\ln 3}.
Derivando \,e^{t\ln 3}\, em relação a t e usando a regra da cadeia (derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada do “algo”) obtemos:
u'(t)=\frac{d}{dt}e^{t\ln 3}=e^{t\ln 3}\cdot\ln 3=3^{t}\ln 3.
Aqui \ln 3 é o logaritmo natural de 3, que aparece porque a base da exponencial não é e.

Passo 5

Derivar v(t)=\cos t. É uma derivada padrão das funções trigonométricas:
v'(t)=\frac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Intuição rápida: a derivada de \sin é \cos e a derivada de \cos é -\sin.

Passo 6

Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos:
g'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u'(t)=3^{t}\ln 3, v(t)=\cos t, u(t)=3^{t} e v'(t)=-\sin t, vem
g'(t)=\bigl(3^{t}\ln 3\bigr)\cos t + 3^{t}\bigl(-\sin t\bigr).
Agrupando termos e fatorando 3^{t} em comum:
g'(t)=3^{t}\bigl(\ln 3\cos t - \sin t\bigr).

Passo 7

Resumo e observação final: a derivada está expressa de forma compacta fatorando 3^{t}. Essa forma é útil na prova porque mostra claramente as duas contribuições (a da exponencial e a da trigonométrica) e facilita substituições ou análise de zeros.

Resposta

g'(t)=3^{t}\bigl(\ln 3\cos t - \sin t\bigr)

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