Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=e^{5 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a(s) derivada(s) da função f(x)=e^{5 x}.
Informações dadas:
  • A função é uma exponencial com base e cujo expoente é a expressão 5x.
  • Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Lembrete das regras básicas que vou usar (explicação didática):
  • Derivada da exponencial básica: a derivada de e^{x} em relação a x é
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto significa que a função e^{x} é igual à sua própria derivada — um fato importante e fácil de memorizar.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Em palavras: deriva-se a função externa avaliando-a na função interna e multiplica-se pela derivada da função interna. Essa regra serve sempre que tivermos uma função dentro de outra (por exemplo, e^{5x} é e^{(\,\cdot\,)} aplicada a 5x).

Passo 3

Identificar a composição presente em f(x):
  • Função externa g(u)=e^{u}.
  • Função interna u(x)=5x.
Agora calcule a derivada da função interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}(5x)=5,
porque a derivada de ax em relação a x é a.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia passo a passo:
  • Primeiro, derivada da função externa em relação a u é g'(u)=e^{u}.
  • Avaliando em u(x)=5x obtemos g'\big(u(x)\big)=e^{5x}.
  • Multiplica-se pela derivada da função interna u'(x)=5.
Portanto,
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=e^{5x}\cdot 5 = 5e^{5x}.

Passo 5

Observações úteis para a prova (dicas práticas):
  • Regra rápida de decorar: para qualquer constante a,
\frac{d}{dx}e^{a x}=a\,e^{a x}.
  • Exemplo extra para fixar: se h(x)=e^{3x}, então h'(x)=3e^{3x}.
  • Se ficar nervoso na hora da prova, identifique sempre a parte “interna” (aqui 5x) e aplique a regra da cadeia — é quase sempre a mesma mecânica.

Resposta

f'(x)=5e^{5x}

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