Calcule as derivadas das funções abaixo e indique quais foram as técnicas de derivação utilizadas em cada item:
f(x)=\ln (x) \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função dada e que eu indique quais técnicas de derivação foram utilizadas. A função fornecida é
f(x)=\ln(x)\,\operatorname{sen}(x).
Observações extraídas do enunciado:
  • A função é o produto de duas partes: uma função logarítmica \ln(x) e uma função trigonométrica \operatorname{sen}(x).
  • O enunciado usa a notação portuguesa \operatorname{sen} para seno; ao longo da resolução vou escrever \sin para a função seno, portanto interpretamos a função como
f(x)=\ln(x)\,\sin(x).

Passo 2

Vamos lembrar a regra que serve para derivar um produto de duas funções (a regra do produto). Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por:
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Explicando com calma: a derivada do produto é a soma de duas parcelas — a primeira é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função sem derivar; a segunda é a primeira função sem derivar multiplicada pela derivada da segunda. Essa é a técnica principal que vamos usar aqui.

Passo 3

Identifico as duas funções que estão no produto. Escolho
u(x)=\ln(x),\qquad v(x)=\sin(x).
Agora preciso das derivadas de cada uma isoladamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=\ln(x).
  • Fórmula conhecida: a derivada do logaritmo natural é
\bigl(\ln(x)\bigr)'=\frac{1}{x}.
  • O que isso significa: para qualquer x em que \ln(x) esteja definida (ou seja, x>0), a taxa de variação instantânea de \ln(x) é \frac{1}{x}.
Derivada de v(x)=\sin(x).
  • Fórmula conhecida: a derivada do seno é o cosseno,
\bigl(\sin(x)\bigr)'=\cos(x).
  • Ou seja, a inclinação da curva seno em cada ponto x é \cos(x).

Passo 5

Agora aplico a regra do produto com u e v e suas derivadas:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=\dfrac{1}{x}, v(x)=\sin(x), u(x)=\ln(x) e v'(x)=\cos(x), obtenho
f'(x)=\frac{1}{x}\sin(x)+\ln(x)\cos(x).

Passo 6

Faço uma pequena organização/algebrização da resposta para deixá-la mais legível. Podemos escrever a derivada como
f'(x)=\frac{\sin(x)}{x}+\ln(x)\cos(x).
Também poderia fatorar algo, por exemplo:
f'(x)=\cos(x)\ln(x)+\frac{\sin(x)}{x},
mas a forma \dfrac{\sin(x)}{x}+\ln(x)\cos(x) é clara e direta.

Passo 7

Observações importantes para a prova (dicas práticas):
  • Domínio: como \ln(x) só existe para x>0, a derivada que encontramos vale para x>0.
  • Técnicas usadas: regra do produto + fórmulas básicas de derivada de \ln(x) e de \sin(x). Não foi necessário usar regra da cadeia aqui.
  • Exemplo rápido similar para treinar: se g(x)=\ln(x)\cos(x), aplicar a mesma ideia com u=\ln(x), v=\cos(x). Então
g'(x)=\frac{1}{x}\cos(x)-\ln(x)\sin(x).
Faz esse passo à mão para fixar a mecânica.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{\sin(x)}{x}+\ln(x)\cos(x)
Técnicas utilizadas: regra do produto; derivadas básicas \bigl(\ln(x)\bigr)'=\dfrac{1}{x} e \bigl(\sin(x)\bigr)'=\cos(x).

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