Calcule as derivadas das funções abaixo e indique quais foram as técnicas de derivação utilizadas em cada item:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função dada e que eu indique quais técnicas de derivação foram utilizadas. A função fornecida é
Observações extraídas do enunciado:
- A função é o produto de duas partes: uma função logarítmica
e uma função trigonométrica . - O enunciado usa a notação portuguesa
para seno; ao longo da resolução vou escrever para a função seno, portanto interpretamos a função como
Passo 2
Vamos lembrar a regra que serve para derivar um produto de duas funções (a regra do produto). Se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto é dada por:
Explicando com calma: a derivada do produto é a soma de duas parcelas — a primeira é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função sem derivar; a segunda é a primeira função sem derivar multiplicada pela derivada da segunda. Essa é a técnica principal que vamos usar aqui.
Passo 3
Identifico as duas funções que estão no produto. Escolho
Agora preciso das derivadas de cada uma isoladamente.
Passo 4
Derivada de
.
- Fórmula conhecida: a derivada do logaritmo natural é
- O que isso significa: para qualquer
em que esteja definida (ou seja, ), a taxa de variação instantânea de é .
Derivada de
.
- Fórmula conhecida: a derivada do seno é o cosseno,
- Ou seja, a inclinação da curva seno em cada ponto
é .
Passo 5
Agora aplico a regra do produto com
e
e suas derivadas:
Substituindo
,
,
e
, obtenho
Passo 6
Faço uma pequena organização/algebrização da resposta para deixá-la mais legível. Podemos escrever a derivada como
Também poderia fatorar algo, por exemplo:
mas a forma
é clara e direta.
Passo 7
Observações importantes para a prova (dicas práticas):
- Domínio: como
só existe para , a derivada que encontramos vale para . - Técnicas usadas: regra do produto + fórmulas básicas de derivada de
e de . Não foi necessário usar regra da cadeia aqui. - Exemplo rápido similar para treinar: se
, aplicar a mesma ideia com , . Então
Faz esse passo à mão para fixar a mecânica.
Resposta
Técnicas utilizadas: regra do produto; derivadas básicas