Calcule as derivadas das funções abaixo e indique quais foram as técnicas de derivação utilizadas em cada item:
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2 x-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2x-5}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função explícita é f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+2x-5}.
  • O pedido é encontrar f'(x) (a derivada em termos de x).
    Não foi dado nenhum método obrigatório no enunciado, então escolhemos um método para resolver — isso será explicado nos passos seguintes.

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação curta):
  • Vou reescrever a função como um produto para usar a regra do produto junto com a regra da cadeia, porque essas regras são conceitos básicos e fáceis de aplicar sem decorar uma fórmula adicional. Escreveremos
f(x)=x\,(x^{2}+2x-5)^{-1}.
  • Observação: poderia-se usar também diretamente a regra do quociente. Mais adiante mostro rapidamente que dá o mesmo resultado.

Passo 3

Lembrete e explicação das fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x.
  • Regra da cadeia (na forma de potência composta): se h(x) é diferenciável e g(t)=t^{n} então
(g\circ h)'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x).
No caso de g(t)=t^{n} temos g'(t)=n t^{\,n-1}. Assim, para v(x)=(h(x))^{n},
v'(x)=n\,(h(x))^{\,n-1}\,h'(x).
Exemplo curto e intuitivo: se v(x)=(x^2+1)^3 então v'(x)=3(x^2+1)^2\cdot (2x)=6x(x^2+1)^2.

Passo 4

Identificamos as partes para aplicar a regra do produto:
  • Tomamos u(x)=x e v(x)=(x^{2}+2x-5)^{-1}.
  • Derivada de u: usando regra básica, u'(x)=1.
  • Para v'(x) usamos a regra da cadeia com g(t)=t^{-1} e h(x)=x^{2}+2x-5.
    • Primeiro g'(t)=-1\cdot t^{-2}.
    • Depois h'(x)=2x+2.
    • Assim,
    v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x) = -1\cdot (x^{2}+2x-5)^{-2}\cdot (2x+2).Ou, escrevendo de forma clara, v'(x)=-(2x+2)\,(x^{2}+2x-5)^{-2}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtém-se
f'(x)=1\cdot (x^{2}+2x-5)^{-1} + x\cdot\bigl(-(2x+2)\,(x^{2}+2x-5)^{-2}\bigr).
Portanto
f'(x)=(x^{2}+2x-5)^{-1} - x(2x+2)\,(x^{2}+2x-5)^{-2}.

Passo 6

Vamos colocar tudo em um único denominador para simplificar (passo-a-passo):
  • O primeiro termo tem fator (x^{2}+2x-5)^{-1}=\dfrac{1}{(x^{2}+2x-5)}=\dfrac{x^{2}+2x-5}{(x^{2}+2x-5)^{2}}.
  • O segundo termo já tem denominador (x^{2}+2x-5)^{2}, escrito como \dfrac{x(2x+2)}{(x^{2}+2x-5)^{2}} com sinal negativo.
    Então, reunindo:
f'(x)=\frac{x^{2}+2x-5}{(x^{2}+2x-5)^{2}} - \frac{x(2x+2)}{(x^{2}+2x-5)^{2}}.

Passo 7

Agora somamos os numeradores (mesmo denominador):
  • Numerador total:
x^{2}+2x-5 - x(2x+2).
  • Expandindo x(2x+2)=2x^{2}+2x, obtemos
x^{2}+2x-5 - (2x^{2}+2x) = x^{2}+2x-5-2x^{2}-2x = -x^{2}-5.
Portanto
f'(x)=\frac{-x^{2}-5}{(x^{2}+2x-5)^{2}}.
Podemos escrever de forma mais limpa:
f'(x)=-\frac{x^{2}+5}{(x^{2}+2x-5)^{2}}.

Passo 8

Verificação rápida usando a regra do quociente (apenas para confirmar; não era necessário):
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
f'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Aqui p(x)=x e q(x)=x^{2}+2x-5. Então p'(x)=1 e q'(x)=2x+2. Logo
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}+2x-5) - x(2x+2)}{(x^{2}+2x-5)^{2}},
que é exatamente a mesma conta que fizemos e simplifica para
f'(x)=-\frac{x^{2}+5}{(x^{2}+2x-5)^{2}}.
Ou seja, as duas abordagens coincidem (como deve acontecer).

Resposta

-\dfrac{x^{2}+5}{(x^{2}+2x-5)^{2}}\nTécnicas usadas: regra do produto e regra da cadeia (apliquei a derivação de potência para (x^{2}+2x-5)^{-1}); alternativamente pode-se usar a regra do quociente, que dá o mesmo resultado.

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