Calcule as derivadas das funções abaixo e indique quais foram as técnicas de derivação utilizadas em cada item:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função explícita é
. - O pedido é encontrar
(a derivada em termos de ).
Não foi dado nenhum método obrigatório no enunciado, então escolhemos um método para resolver — isso será explicado nos passos seguintes.
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicação curta):
- Vou reescrever a função como um produto para usar a regra do produto junto com a regra da cadeia, porque essas regras são conceitos básicos e fáceis de aplicar sem decorar uma fórmula adicional. Escreveremos
- Observação: poderia-se usar também diretamente a regra do quociente. Mais adiante mostro rapidamente que dá o mesmo resultado.
Passo 3
Lembrete e explicação das fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
- Regra da cadeia (na forma de potência composta): se
é diferenciável e então
No caso de
temos
. Assim, para
,
Exemplo curto e intuitivo: se
então
.
Passo 4
Identificamos as partes para aplicar a regra do produto:
- Tomamos
e . - Derivada de
: usando regra básica, . - Para
usamos a regra da cadeia com e . - Primeiro
. - Depois
. - Assim,
Ou, escrevendo de forma clara, - Primeiro
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
obtém-se
Portanto
Passo 6
Vamos colocar tudo em um único denominador para simplificar (passo-a-passo):
- O primeiro termo tem fator
. - O segundo termo já tem denominador
, escrito como com sinal negativo.
Então, reunindo:
Passo 7
Agora somamos os numeradores (mesmo denominador):
- Numerador total:
- Expandindo
, obtemos
Portanto
Podemos escrever de forma mais limpa:
Passo 8
Verificação rápida usando a regra do quociente (apenas para confirmar; não era necessário):
- Regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
e
. Logo
que é exatamente a mesma conta que fizemos e simplifica para
Ou seja, as duas abordagens coincidem (como deve acontecer).