Calcule as derivadas das funções abaixo, justificando as passagens quando necessário:
f(x)=(\arctan x)^{x}

Passo 1

Enunciado: calcular a derivada da função \;f(x)=(\arctan x)^{x}\; e justificar as passagens.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função está escrita como potência em que tanto a base \arctan x quanto o expoente x dependem de x.
  • Para usar logaritmo natural em \arctan x precisamos que \arctan x>0. Portanto, para a derivação clássica que faremos aqui, consideramos o domínio principal \;x>0\; (em x\le0 a expressão (\arctan x)^x pode não estar definida como um número real para expoente real).
  • O que se pede: encontrar f'(x) e explicar cada passo.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma potência com base e expoente variáveis, o método mais direto é a diferenciação logarítmica. A razão é que o logaritmo transforma uma potência em um produto, e produto é mais fácil de derivar usando a regra do produto. Concretamente, se colocarmos \;y=f(x)=(\arctan x)^x\; e aplicarmos o logaritmo natural, obtemos uma relação mais simples para diferenciar.
Regras que vamos usar (explicadas brevemente):
  • Regra da cadeia para funções compostas: se h(x)=\ln(u(x)) então h'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Isso vem do fato de derivar \ln e aplicar a cadeia.
  • Regra do produto: se p(x)=u(x)v(x) então p'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Derivada da função inversa tangente: (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Vou justificar essa última fórmula abaixo usando a definição de função inversa.

Passo 3

Começamos definindo \;y=f(x)=(\arctan x)^x\;. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados (válido porque, no domínio considerado, \arctan x>0):
\ln y = \ln\big((\arctan x)^x\big).
Usando a identidade \ln(a^b)=b\ln a, obtemos
\ln y = x\ln(\arctan x).

Passo 4

Diferenciamos ambos os lados em relação a \;x\;. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{y'}{y}. No lado direito usamos a regra do produto (produto de x por \ln(\arctan x)):
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\big(x\ln(\arctan x)\big) = 1\cdot \ln(\arctan x) + x\cdot \frac{d}{dx}\big(\ln(\arctan x)\big).
Agora falta calcular \dfrac{d}{dx}\ln(\arctan x).

Passo 5

Calculando \dfrac{d}{dx}\ln(\arctan x) pela regra da cadeia: se u(x)=\arctan x então \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Assim
\frac{d}{dx}\big(\ln(\arctan x)\big)=\frac{(\arctan x)'}{\arctan x}.
Agora explico por que (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Seja y=\arctan x. Então x=\tan y. Diferenciando ambos os lados em relação a x (considerando y função de x):
1 = \frac{d}{dx}(\tan y) = \operatorname{sec}^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}.
Logo
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
Mas \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y. Substituindo \tan y=x
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\tan^{2}y} = \frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto
(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Voltando à expressão obtida em Passo 4, substituímos (\arctan x)' e obtemos
\frac{y'}{y} = \ln(\arctan x) + x\cdot \frac{1/(1+x^{2})}{\arctan x}.
Escrevendo de forma clara:
\frac{y'}{y} = \ln(\arctan x) + \frac{x}{(1+x^{2})\,\arctan x}.

Passo 7

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y. Lembrando que y=(\arctan x)^x, obtemos
y' = (\arctan x)^x\left(\ln(\arctan x) + \frac{x}{(1+x^{2})\,\arctan x}\right).
Essa é a expressão da derivada. Podemos deixar exatamente assim, ou escrever a segunda parcela de forma um pouco diferente, por exemplo
f'(x)=(\arctan x)^x\left(\ln(\arctan x)+\frac{x}{(1+x^{2})\arctan x}\right).

Passo 8

Exemplo rápido de verificação numérica (para dar confiança): em \;x=1\; temos \arctan 1=\pi/4. Então
f(1)=\left(\frac{\pi}{4}\right)^{1}=\frac{\pi}{4}
e
f'(1)=\frac{\pi}{4}\left(\ln\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{(1+1)\cdot(\pi/4)}\right) =\frac{\pi}{4}\left(\ln\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{\pi}\right).
Isso demonstra como usar a fórmula encontrada.

Resposta

f'(x)=(\arctan x)^x\left(\ln(\arctan x)+\frac{x}{(1+x^{2})\,\arctan x}\right)

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