Calcule as derivadas das funções abaixo, justificando as passagens quando necessário:
Passo 1
Enunciado: calcular a derivada da função
e justificar as passagens.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função está escrita como potência em que tanto a base
quanto o expoente dependem de . - Para usar logaritmo natural em
precisamos que . Portanto, para a derivação clássica que faremos aqui, consideramos o domínio principal (em a expressão pode não estar definida como um número real para expoente real). - O que se pede: encontrar
e explicar cada passo.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando temos uma potência com base e expoente variáveis, o método mais direto é a diferenciação logarítmica. A razão é que o logaritmo transforma uma potência em um produto, e produto é mais fácil de derivar usando a regra do produto. Concretamente, se colocarmos
e aplicarmos o logaritmo natural, obtemos uma relação mais simples para diferenciar.
Regras que vamos usar (explicadas brevemente):
- Regra da cadeia para funções compostas: se
então . Isso vem do fato de derivar e aplicar a cadeia. - Regra do produto: se
então . - Derivada da função inversa tangente:
. Vou justificar essa última fórmula abaixo usando a definição de função inversa.
Passo 3
Começamos definindo
. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados (válido porque, no domínio considerado,
):
Usando a identidade
, obtemos
Passo 4
Diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia:
. No lado direito usamos a regra do produto (produto de
por
):
Agora falta calcular
.
Passo 5
Calculando
pela regra da cadeia: se
então
. Assim
Agora explico por que
. Seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(considerando
função de
):
Logo
Mas
. Substituindo
dá
Portanto
Passo 6
Voltando à expressão obtida em Passo 4, substituímos
e obtemos
Escrevendo de forma clara:
Passo 7
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
. Lembrando que
, obtemos
Essa é a expressão da derivada. Podemos deixar exatamente assim, ou escrever a segunda parcela de forma um pouco diferente, por exemplo
Passo 8
Exemplo rápido de verificação numérica (para dar confiança): em
temos
. Então
e
Isso demonstra como usar a fórmula encontrada.