Calcule as derivadas das funções abaixo, justificando as passagens quando necessário:
f(x)=2^{x} \log _{3} x

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada:
f(x)=2^{x}\log_{3}x.
Informações relevantes: \log_{3}x só está definida para x>0. A tarefa é encontrar f'(x) (a derivada de f em função de x), justificando as passagens.

Passo 2

Qual regra vamos usar (sem entrar em nomes de disciplinas): a função é produto de duas funções dependentes de x. A regra para derivar um produto é a seguinte: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x. Vou aplicar essa fórmula com u(x)=2^{x} e v(x)=\log_{3}x. Antes de aplicar, precisamos calcular u' e v'.

Passo 3

Derivada de u(x)=2^{x}.
Explicação do método: para derivar uma exponencial de base positiva distinta de e, escrevemos a exponencial em termos de e. Temos
2^{x} = e^{x\ln 2}.
Agora derivamos usando a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}\cdot g'(x). Aqui g(x)=x\ln 2 e g'(x)=\ln 2. Portanto
\frac{d}{dx}2^{x} = \frac{d}{dx}e^{x\ln 2} = e^{x\ln 2}\cdot \ln 2 = 2^{x}\ln 2.
Conclusão: u'(x)=2^{x}\ln 2.

Passo 4

Derivada de v(x)=\log_{3}x.
Explicação do método: é prático usar a mudança de base para logaritmo:
\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3},
onde \ln é o logaritmo natural. A constante \ln 3 não depende de x, então é fator constante. A derivada de \ln x é 1/x. Logo
\frac{d}{dx}\log_{3}x = \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right) = \frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln 3}.
Conclusão: v'(x)=\dfrac{1}{x\ln 3}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto com u, u', v e v':
Substituindo na fórmula (uv)'=u'v+uv' obtemos
f'(x)=\bigl(2^{x}\bigr)'\log_{3}x + 2^{x}\bigl(\log_{3}x\bigr)'.
Substituindo u'(x)=2^{x}\ln 2 e v'(x)=\dfrac{1}{x\ln 3},
f'(x)=2^{x}\ln 2\;\log_{3}x + 2^{x}\cdot\frac{1}{x\ln 3}.

Passo 6

Simplificação e forma mais compacta.
Podemos fatorar 2^{x} em evidência:
f'(x)=2^{x}\left(\ln 2\;\log_{3}x + \frac{1}{x\ln 3}\right).
Substituindo \log_{3}x=\dfrac{\ln x}{\ln 3} para unir termos sob um mesmo denominador:
\ln 2\;\log_{3}x = \ln 2\cdot\frac{\ln x}{\ln 3} = \frac{\ln 2\;\ln x}{\ln 3}.
Então
f'(x)=2^{x}\left(\frac{\ln 2\;\ln x}{\ln 3} + \frac{1}{x\ln 3}\right) = 2^{x}\cdot\frac{\ln 2\;\ln x + \dfrac{1}{x}}{\ln 3}.
Reescrevendo de forma limpa:
f'(x)=\frac{2^{x}}{\ln 3}\left(\ln 2\;\ln x + \frac{1}{x}\right),
válido para x>0.

Resposta

f'(x)=2^{x}\ln 2\;\log_{3}x + \frac{2^{x}}{x\ln 3}=\frac{2^{x}}{\ln 3}\left(\ln 2\;\ln x + \frac{1}{x}\right),\quad x>0

Exercícios relacionados