Calcule as derivadas das funções abaixo, justificando as passagens quando necessário:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada:
Informações relevantes:
só está definida para
. A tarefa é encontrar
(a derivada de
em função de
), justificando as passagens.
Passo 2
Qual regra vamos usar (sem entrar em nomes de disciplinas): a função é produto de duas funções dependentes de
. A regra para derivar um produto é a seguinte: se
e
são diferenciáveis, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. Vou aplicar essa fórmula com
e
. Antes de aplicar, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Derivada de
.
Explicação do método: para derivar uma exponencial de base positiva distinta de
, escrevemos a exponencial em termos de
. Temos
Agora derivamos usando a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
e
. Portanto
Conclusão:
.
Passo 4
Derivada de
.
Explicação do método: é prático usar a mudança de base para logaritmo:
onde
é o logaritmo natural. A constante
não depende de
, então é fator constante. A derivada de
é
. Logo
Conclusão:
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto com
,
,
e
:
Substituindo na fórmula
obtemos
Substituindo
e
,
Passo 6
Simplificação e forma mais compacta.
Podemos fatorar
em evidência:
Substituindo
para unir termos sob um mesmo denominador:
Então
Reescrevendo de forma limpa:
válido para
.