Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
j) \frac{e^{x}}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}-9}
e pede:
a) os intervalos de crescimento/decrescimento;
b) os extremos locais (máx/mín locais);
c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a fórmula de f (com e^{x}>0 para todo x) e que o denominador é x^{2}-9, portanto x=\pm 3 são pontos em que a função não está definida (possíveis assíntotas verticais). Não resolvemos nada ainda — só identificamos o que é pedido e os dados que já temos.

Passo 2

Domínio e observações iniciais (importante para separar intervalos):
A função é indefinida quando x^{2}-9=0, ou seja em x=\pm 3. Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3,\;x\neq 3\} = (-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty).
Observação útil: e^{x}>0 para todo x, então o sinal de f(x) depende apenas do sinal de x^{2}-9. Em particular x^{2}-9>0 para |x|>3 (denominador positivo) e x^{2}-9<0 para |x|<3 (denominador negativo).

Passo 3

Derivada primeira e monotonicidade (fórmula e análise passo a passo):
Usamos a regra do quociente. Seja f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=e^{x} e v(x)=x^{2}-9. Então
u'(x)=e^{x},\qquad v'(x)=2x.
Pela regra do quociente
f'(x)=\frac{u'v - u v'}{v^{2}}=\frac{e^{x}(x^{2}-9)-e^{x}\cdot 2x}{(x^{2}-9)^{2}}.
Fatorando e^{x} no numerador obtemos
f'(x)=\frac{e^{x}\bigl(x^{2}-2x-9\bigr)}{(x^{2}-9)^{2}}.
Observações importantes para o estudo de sinais:
  • e^{x}>0 sempre, e (x^{2}-9)^{2}>0 para todo x\neq\pm 3. Portanto o sinal de f'(x) é o mesmo do polinômio x^{2}-2x-9.
  • Resolvendo x^{2}-2x-9=0 obtemos as raízes
x = \frac{2\pm\sqrt{4+36}}{2} = 1\pm\sqrt{10}.
Denotemos x_{1}=1-\sqrt{10}\approx -2{,}1623 e x_{2}=1+\sqrt{10}\approx 4{,}1623. Esses são os pontos críticos (além de x=\pm 3, onde f' não está definida porque f não está definida).
Análise de sinal (lembrando de excluir \pm 3 do domínio):
  • x^{2}-2x-9>0 para x<x_{1} ou x>x_{2}. Logo f'(x)>0 nesses intervalos.
  • x^{2}-2x-9<0 para x_{1}<x<x_{2}. Logo f'(x)<0 aí.
    Agora precisamos intersectar esses intervalos com o domínio, tendo em conta as quebras em x=-3 e x=3. A ordem numérica é
-\infty< -3 < x_{1}\approx -2{,}1623 < 3 < x_{2}\approx 4{,}1623 < \infty.
Portanto os intervalos de monotonicidade na forma final (respeitando domínio) são:
  • Crescente em \;(-\infty,-3)\cup(-3,\,1-\sqrt{10})\cup(1+\sqrt{10},\infty).
  • Decrescente em \;(1-\sqrt{10},\,3)\cup(3,\,1+\sqrt{10}).

Passo 4

Extremos locais (identificação usando o teste do sinal da derivada):
  • Em x=1-\sqrt{10} temos f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita): isso significa que em x=1-\sqrt{10} a função tem um máximo local. O valor correspondente é
f(1-\sqrt{10})=\frac{e^{\,1-\sqrt{10}}}{(1-\sqrt{10})^{2}-9}.
Podemos dar uma aproximação numérica para ter intuição: 1-\sqrt{10}\approx -2{,}1623, e^{1-\sqrt{10}}\approx e^{-2{,}1623}\approx 0{,}1153 e (1-\sqrt{10})^{2}-9\approx -4{,}324. Assim
f(1-\sqrt{10})\approx -0{,}0267,
ou seja é um máximo local negativo pequeno (a função sobe até esse ponto vindo de -3^{+} e depois desce até 3^{-}).
  • Em x=1+\sqrt{10} temos f' muda de negativo para positivo: isso dá um mínimo local em x=1+\sqrt{10}. O valor é
f(1+\sqrt{10})=\frac{e^{\,1+\sqrt{10}}}{(1+\sqrt{10})^{2}-9}.
Aproximação numérica: 1+\sqrt{10}\approx 4{,}1623, e^{1+\sqrt{10}}\approx 64{,}2 e (1+\sqrt{10})^{2}-9\approx 8{,}324, logo
f(1+\sqrt{10})\approx 7{,}71.
Resumo: máximo local em x=1-\sqrt{10} com f\approx -0{,}0267; mínimo local em x=1+\sqrt{10} com f\approx 7{,}71.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade (cálculo e simplificação):
Partimos de f'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}-2x-9)}{(x^{2}-9)^{2}}. Aplicando a regra do quociente e simplificando cuidadosamente (mostro os passos principais já simplificados) obtemos
f''(x)=\frac{e^{x}\bigl(x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+36x+99\bigr)}{(x^{2}-9)^{3}}.
Observações para o estudo de sinais:
  • Novamente e^{x}>0 para todo x, portanto o sinal de f''(x) é o sinal do numerador polinomial
P(x)=x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+36x+99
dividido pelo sinal de (x^{2}-9)^{3}.
  • Verificamos (avaliando P em vários pontos e observando o comportamento de P) que P(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. (Testes rápidos: P(0)=99,\;P(-2)=27,\;P(1)=120,\;P(3)=72; o polinômio tem termo dominante x^{4}>0 e não muda de sinal nos pontos testados — portanto não há raiz real de P e P mantém-se positiva.) Consequência prática: o sinal de f''(x) depende apenas do sinal de (x^{2}-9)^{3}.
Assim:
  • Para |x|>3 temos x^{2}-9>0 e então (x^{2}-9)^{3}>0, logo f''(x)>0. Portanto f é côncava para cima em (-\infty,-3) e em (3,\infty).
  • Para |x|<3 temos x^{2}-9<0 e (x^{2}-9)^{3}<0, logo f''(x)<0. Portanto f é côncava para baixo em (-3,3).

Passo 6

Pontos de inflexão (definição e conclusão):
Um ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa e onde a função está definida. A concavidade muda em x=\pm 3, mas a função não está definida nesses pontos (são assíntotas verticais), então esses pontos não contam como pontos de inflexão da função. Como f''(x) não se anula em nenhum ponto do domínio (o numerador P(x) é sempre positivo) e as únicas mudanças de sinal de f'' ocorrem atravessando as descontinuidades x=\pm 3, concluímos que:
  • Não há pontos de inflexão em que f esteja definida. (A função troca concavidade em \pm 3, mas \pm 3\notin domínio.)

Passo 7

Assíntotas (verticais e horizontais) e comportamento nas vizinhanças:
  • Assíntotas verticais: como x=\pm 3 anulam o denominador e e^{\pm 3}\neq 0, temos assíntotas verticais em
x=-3\quad\text{e}\quad x=3.
Comportamento lateral próximo a essas assíntotas (importante para o esboço):
\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to -3^-}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -3^+}f(x)=-\infty.
(Concluímos os sinais observando que x^{2}-9 é negativo para |x|<3 e positivo para |x|>3, e e^{x}>0.)
  • Assíntota horizontal: para x\to -\infty temos e^{x}\to 0 enquanto x^{2}-9\to +\infty, então
\lim_{x\to -\infty} f(x)=0,
ou seja há uma assíntota horizontal y=0 quando x\to -\infty.
Para x\to +\infty temos e^{x} crescendo muito mais rápido que x^{2}, daí
\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty,
portanto não há assíntota horizontal à direita (nem oblíqua no sentido polinomial), o ramo direito cresce para +\infty.

Passo 8

Esboço do gráfico usando as informações (guia passo a passo para desenhar na prova — siga as marcas):
  1. Trace as linhas verticais x=-3 e x=3 (assíntotas verticais). Trace a linha horizontal y=0 como assíntota à esquerda.
  2. Ramo da esquerda ( x<-3): como f(x)>0 para |x|>3 e f\to 0^{+} quando x\to -\infty, e f\to +\infty quando x\to -3^{-}, desenhe um ramo que vem de y\approx 0^{+} à esquerda, é côncavo para cima em (-\infty,-3) e sobe até +\infty em x\to -3^{-}.
  3. Ramo do meio ( -3<x<3): aqui f é negativa e côncava para baixo. Em x\to -3^{+} tem f\to -\infty, depois cresce (é crescente em (-3,\,1-\sqrt{10})) até o máximo local em x=1-\sqrt{10} com f\approx -0{,}0267 (um máximo negativo pequeno), depois decresce em direção a x\to 3^{-} onde f\to -\infty. Note que em x=0 temos f(0)=-\tfrac{1}{9}\approx -0{,}111. Portanto desenhe um ramo totalmente abaixo do eixo x, passando por (0,-1/9), com um pequeno topo negativo em x\approx -2{,}162.
  4. Ramo da direita ( x>3): começa em +\infty quando x\to 3^{+}, é decrescente até o mínimo local em x=1+\sqrt{10}\approx 4{,}162 com f\approx 7{,}71, depois cresce de novo (côncavo para cima) e tende a +\infty quando x\to +\infty. Desenhe esse ramo positivo, com um vale em torno de x\approx 4{,}16.
    Com isso você tem um esboço qualitativo: dois ramos positivos desconectados (um à esquerda aproximando-se de y=0 e outro à direita que cresce indefinidamente) e um ramo central negativo entre as assíntotas que tem um pequeno máximo negativo. Seja gentil ao desenhar: indique os valores aproximados de x_{1}=1-\sqrt{10} e x_{2}=1+\sqrt{10}, e marque x=\pm 3.

Resposta

(a) Crescente em \;(-\infty,-3)\cup(-3,\,1-\sqrt{10})\cup(1+\sqrt{10},\infty).\nDecrescente em \;(1-\sqrt{10},\,3)\cup(3,\,1+\sqrt{10}).
(b) Máximo local em x=1-\sqrt{10} com valor f(1-\sqrt{10})=\dfrac{e^{\,1-\sqrt{10}}}{(1-\sqrt{10})^{2}-9}\approx -0{,}0267.\nMínimo local em x=1+\sqrt{10} com valor f(1+\sqrt{10})=\dfrac{e^{\,1+\sqrt{10}}}{(1+\sqrt{10})^{2}-9}\approx 7{,}71.
(c) Côncava para cima em (-\infty,-3)\cup(3,\infty). Côncava para baixo em (-3,3). Não há pontos de inflexão na função (as mudanças de concavidade ocorrem em x=\pm 3, mas esses pontos não pertencem ao domínio).
(d) Assíntotas verticais: x=-3 e x=3. Assíntota horizontal à esquerda: y=0 quando x\to -\infty. Não há assíntota horizontal quando x\to +\infty (de fato f(x)\to +\infty). Comportamento lateral: \lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty,\;\lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty,\;\lim_{x\to -3^-}f(x)=+\infty,\;\lim_{x\to -3^+}f(x)=-\infty.
(e) Esboço qualitativo: ramo esquerdo em (-\infty,-3) positivo, côncavo para cima, vindo de y=0^{+} e tendendo a +\infty ao aproximar-se de -3^{-}; ramo central em (-3,3) negativo e côncavo para baixo, com máximo local pequeno e negativo em x\approx -2{,}162 e indo a -\infty em ambos os lados nas aproximações -3^{+} e 3^{-}; ramo direito em (3,\infty) positivo, côncavo para cima, vindo de +\infty em 3^{+}, com mínimo local em x\approx 4{,}162 com f\approx 7{,}71, e crescendo para +\infty quando x\to+\infty.

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