Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
j)
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
j)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
a) os intervalos de crescimento/decrescimento;
b) os extremos locais (máx/mín locais);
c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a fórmula de (com
para todo
) e que o denominador é
, portanto
são pontos em que a função não está definida (possíveis assíntotas verticais). Não resolvemos nada ainda — só identificamos o que é pedido e os dados que já temos.
a) os intervalos de crescimento/decrescimento;
b) os extremos locais (máx/mín locais);
c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a fórmula de
Passo 2
Domínio e observações iniciais (importante para separar intervalos):
A função é indefinida quando , ou seja em
. Portanto o domínio é
A função é indefinida quando
Observação útil:
para todo
, então o sinal de
depende apenas do sinal de
. Em particular
para
(denominador positivo) e
para
(denominador negativo).
Passo 3
Derivada primeira e monotonicidade (fórmula e análise passo a passo):
Usamos a regra do quociente. Seja com
e
. Então
Usamos a regra do quociente. Seja
Pela regra do quociente
Fatorando
no numerador obtemos
Observações importantes para o estudo de sinais:
-
sempre, e para todo . Portanto o sinal de é o mesmo do polinômio . - Resolvendo
obtemos as raízes
Denotemos
e
. Esses são os pontos críticos (além de
, onde
não está definida porque
não está definida).
Análise de sinal (lembrando de excluir
do domínio):
-
para ou . Logo nesses intervalos. -
para . Logo aí.
Agora precisamos intersectar esses intervalos com o domínio, tendo em conta as quebras eme . A ordem numérica é
Portanto os intervalos de monotonicidade na forma final (respeitando domínio) são:
- Crescente em
- Decrescente em
Passo 4
Extremos locais (identificação usando o teste do sinal da derivada):
- Em
temos muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita): isso significa que em a função tem um máximo local. O valor correspondente é
Podemos dar uma aproximação numérica para ter intuição:
,
e
. Assim
ou seja é um máximo local negativo pequeno (a função sobe até esse ponto vindo de
e depois desce até
).
- Em
temos muda de negativo para positivo: isso dá um mínimo local em . O valor é
Aproximação numérica:
,
e
, logo
Resumo: máximo local em
com
; mínimo local em
com
.
Passo 5
Derivada segunda e concavidade (cálculo e simplificação):
Partimos de . Aplicando a regra do quociente e simplificando cuidadosamente (mostro os passos principais já simplificados) obtemos
Partimos de
Observações para o estudo de sinais:
- Novamente
para todo , portanto o sinal de é o sinal do numerador polinomial
dividido pelo sinal de
.
- Verificamos (avaliando
em vários pontos e observando o comportamento de ) que para todo . (Testes rápidos: ; o polinômio tem termo dominante e não muda de sinal nos pontos testados — portanto não há raiz real de e mantém-se positiva.) Consequência prática: o sinal de depende apenas do sinal de .
Assim:
- Para
temos e então , logo . Portanto é côncava para cima em e em . - Para
temos e , logo . Portanto é côncava para baixo em .
Passo 6
Pontos de inflexão (definição e conclusão):
Um ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa e onde a função está definida. A concavidade muda em , mas a função não está definida nesses pontos (são assíntotas verticais), então esses pontos não contam como pontos de inflexão da função. Como
não se anula em nenhum ponto do domínio (o numerador
é sempre positivo) e as únicas mudanças de sinal de
ocorrem atravessando as descontinuidades
, concluímos que:
Um ponto de inflexão é um ponto do domínio onde a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa e onde a função está definida. A concavidade muda em
- Não há pontos de inflexão em que
esteja definida. (A função troca concavidade em , mas domínio.)
Passo 7
Assíntotas (verticais e horizontais) e comportamento nas vizinhanças:
- Assíntotas verticais: como
anulam o denominador e , temos assíntotas verticais em
Comportamento lateral próximo a essas assíntotas (importante para o esboço):
(Concluímos os sinais observando que
é negativo para
e positivo para
, e
.)
- Assíntota horizontal: para
temos enquanto , então
ou seja há uma assíntota horizontal
quando
.
Para temos
crescendo muito mais rápido que
, daí
Para
portanto não há assíntota horizontal à direita (nem oblíqua no sentido polinomial), o ramo direito cresce para
.
Passo 8
Esboço do gráfico usando as informações (guia passo a passo para desenhar na prova — siga as marcas):
- Trace as linhas verticais
e (assíntotas verticais). Trace a linha horizontal como assíntota à esquerda. - Ramo da esquerda (
): como para e quando , e quando , desenhe um ramo que vem de à esquerda, é côncavo para cima em e sobe até em . - Ramo do meio (
): aqui é negativa e côncava para baixo. Em tem , depois cresce (é crescente em ) até o máximo local em com (um máximo negativo pequeno), depois decresce em direção a onde . Note que em temos . Portanto desenhe um ramo totalmente abaixo do eixo , passando por , com um pequeno topo negativo em . - Ramo da direita (
): começa em quando , é decrescente até o mínimo local em com , depois cresce de novo (côncavo para cima) e tende a quando . Desenhe esse ramo positivo, com um vale em torno de .
Com isso você tem um esboço qualitativo: dois ramos positivos desconectados (um à esquerda aproximando-se dee outro à direita que cresce indefinidamente) e um ramo central negativo entre as assíntotas que tem um pequeno máximo negativo. Seja gentil ao desenhar: indique os valores aproximados de e , e marque .
Resposta
(a) Crescente em
\nDecrescente em
(b) Máximo local em com valor
\nMínimo local em
com valor
(c) Côncava para cima em . Côncava para baixo em
. Não há pontos de inflexão na função (as mudanças de concavidade ocorrem em
, mas esses pontos não pertencem ao domínio).
(d) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal à esquerda:
quando
. Não há assíntota horizontal quando
(de fato
). Comportamento lateral:
(e) Esboço qualitativo: ramo esquerdo em positivo, côncavo para cima, vindo de
e tendendo a
ao aproximar-se de
; ramo central em
negativo e côncavo para baixo, com máximo local pequeno e negativo em
e indo a
em ambos os lados nas aproximações
e
; ramo direito em
positivo, côncavo para cima, vindo de
em
, com mínimo local em
com
, e crescendo para
quando
.
(b) Máximo local em
(c) Côncava para cima em
(d) Assíntotas verticais:
(e) Esboço qualitativo: ramo esquerdo em