Seja f a função definida por:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \tan x \text { se } x \leq c \\\ a x+b \text { se } x>c \end{array}\right.
Ache os valores de a e b em termos de c de modo que f^{\prime}\text{(c)} exista.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes:
f(x)=\begin{cases} \tan x &\text{se } x\le c,\\[4pt] ax+b &\text{se } x>c, \end{cases}
e pede: “Ache os valores de a e b em termos de c de modo que f'\text{(c)} exista.”
Informações relevantes:
\text{(i)}\quad f(x)=\tan x\\ \text{para } x\le c.
\text{(ii)}\quad f(x)=ax+b\\ \text{para } x>c.
\text{(iii)}\quad \text{Precisamos encontrar }a\text{ e }b\text{ (em função de }c\text{)}\text{ tais que }f'\text{(c)}\text{ exista.}çã]

Passo 2

O que significa que f'\text{(c)} exista? Vou explicar devagarinho e com carinho: para a derivada em c existir precisamos de duas coisas simultâneas:
  1. Continuidade em c: o valor vindo pela esquerda e pela direita deve coincidir, isto é o limite de f(x) quando x\to c (pela esquerda ou direita) deve ser igual a f\text{(c)}.
  2. Igualdade das derivadas laterais em c: a derivada à esquerda, \displaystyle\lim_{x\to c^-}\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}, e a derivada à direita, \displaystyle\lim_{x\to c^+}\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}, devem existir e ser iguais.
Como f é dada por duas expressões, uma para x\le c (tan) e outra para x>c (reta), vamos impor primeiro a continuidade em c e depois igualar as derivadas laterais.

Passo 3

Impor continuidade em c.
Para x\le c temos f\text{(c)}=\tan c (pegamos isso da definição da função no enunciado). Para x>c a expressão que se aproxima de c é ax+b. Para serem iguais em c precisamos que
\lim_{x\to c^+}f(x)=\lim_{x\to c^-}f(x)=f\text{(c)}.
Como f\text{(c)}=\tan c (valor pelo ramo à esquerda), a continuidade exige
\boxed{\tan c = a c + b.}
Essa é a primeira equação que relaciona a, b e c.

Passo 4

Calcular a derivada lateral pela direita (ramo linear).
Se x>c então f(x)=ax+b. A derivada dessa função (onde definida) é a constante a. Mais formalmente,
\lim_{x\to c^+}\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c} = \lim_{x\to c^+}\frac{ax+b - f\text{(c)}}{x-c} = \lim_{x\to c^+}\frac{a(x-c)}{x-c}=a.
Portanto a derivada lateral direita em c é
\boxed{\text{derivada à direita} = a.}à

Passo 5

Calcular a derivada lateral pela esquerda (ramo \tan x).
Para x\le c temos f(x)=\tan x. Quero encontrar
\lim_{x\to c^-}\frac{\tan x - \tan c}{x-c},
que é justamente a derivada de \tan x em c. Vou mostrar de forma direta por regra das derivadas (com uma pequena demonstração útil): escrevemos \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando a regra do quociente (ou derivando passo a passo):
Se g(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}, então
g'(x)=\frac{\cos x\cdot(\sin x)'-\sin x\cdot(\cos x)'}{\cos^2 x} =\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}.
Aqui usei que (\sin x)'=\cos x e (\cos x)'=-\sin x. Simplificando o numerador:
\cos^2 x + \sin^2 x = 1.
Logo
g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto a derivada de \tan x em x=c (e, em particular, a derivada lateral pela esquerda) é
\boxed{\text{derivada à esquerda} = \operatorname{sec}^2 c.}à

Passo 6

Impor igualdade das derivadas laterais.
Para que f'\text{(c)} exista precisamos que a derivada à esquerda e à direita sejam iguais. Assim:
\operatorname{sec}^2 c = a.
Portanto já obtivemos a em função de c:
\boxed{a=\operatorname{sec}^2 c.}

Passo 7

Usar a condição de continuidade para achar b.
Lembrando da equação de continuidade do Passo 3:
\tan c = a c + b.
Substituindo a=\operatorname{sec}^2 c nessa relação:
\tan c = (\operatorname{sec}^2 c)\,c + b.
Isolando b:
\boxed{b=\tan c - c\,\operatorname{sec}^2 c.}

Passo 8

Resumo final e pequeno comentário motivador (pra te animar): conseguimos as duas constantes em função de c exigindo continuidade em c e igualdade das derivadas laterais. Isso é o passo padrão quando se busca que uma função por partes seja diferenciável num ponto de junção: primeiro garantir continuidade, depois igualar as derivadas dos dois ramos.

Resposta

a=\operatorname{sec}^2 c
b=\tan c - c\,\operatorname{sec}^2 c

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