Seja
a função definida por:
Ache os valores de
e
em termos de
de modo que
exista.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes:
e pede: “Ache os valores de
e
em termos de
de modo que
exista.”
Informações relevantes:
Passo 2
O que significa que
exista? Vou explicar devagarinho e com carinho: para a derivada em
existir precisamos de duas coisas simultâneas:
-
Continuidade em
: o valor vindo pela esquerda e pela direita deve coincidir, isto é o limite de quando (pela esquerda ou direita) deve ser igual a . -
Igualdade das derivadas laterais em
: a derivada à esquerda, , e a derivada à direita, , devem existir e ser iguais.
Como
é dada por duas expressões, uma para
(tan) e outra para
(reta), vamos impor primeiro a continuidade em
e depois igualar as derivadas laterais.
Passo 3
Impor continuidade em
.
Para
temos
(pegamos isso da definição da função no enunciado). Para
a expressão que se aproxima de
é
. Para serem iguais em
precisamos que
Como
(valor pelo ramo à esquerda), a continuidade exige
Essa é a primeira equação que relaciona
,
e
.
Passo 4
Calcular a derivada lateral pela direita (ramo linear).
Se
então
. A derivada dessa função (onde definida) é a constante
. Mais formalmente,
Portanto a derivada lateral direita em
é
Passo 5
Calcular a derivada lateral pela esquerda (ramo
).
Para
temos
. Quero encontrar
que é justamente a derivada de
em
. Vou mostrar de forma direta por regra das derivadas (com uma pequena demonstração útil): escrevemos
. Aplicando a regra do quociente (ou derivando passo a passo):
Se
, então
Aqui usei que
e
. Simplificando o numerador:
Logo
Portanto a derivada de
em
(e, em particular, a derivada lateral pela esquerda) é
Passo 6
Impor igualdade das derivadas laterais.
Para que
exista precisamos que a derivada à esquerda e à direita sejam iguais. Assim:
Portanto já obtivemos
em função de
:
Passo 7
Usar a condição de continuidade para achar
.
Lembrando da equação de continuidade do Passo 3:
Substituindo
nessa relação:
Isolando
:
Passo 8
Resumo final e pequeno comentário motivador (pra te animar): conseguimos as duas constantes em função de
exigindo continuidade em
e igualdade das derivadas laterais. Isso é o passo padrão quando se busca que uma função por partes seja diferenciável num ponto de junção: primeiro garantir continuidade, depois igualar as derivadas dos dois ramos.