Sobre a função polinômial
, responda o que se pede:
(a) (1 ponto)Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
(b) (1 ponto)Encontre os intervalos de concavidade.
(c) ( 0,5 pontos)Encontre os pontos críticos e de inflexão.
(d) ( 0,5 pontos)Construa o gráfico usando os itens anteriores.
(a) (1 ponto)Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
(b) (1 ponto)Encontre os intervalos de concavidade.
(c) ( 0,5 pontos)Encontre os pontos críticos e de inflexão.
(d) ( 0,5 pontos)Construa o gráfico usando os itens anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede quatro coisas:
- (a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
- (b) os intervalos de concavidade;
- (c) os pontos críticos e o(s) ponto(s) de inflexão;
- (d) construir (descrever) o gráfico usando os itens anteriores.
Informações úteis que já temos imediatamente do enunciado:
- A função explícita é
. - É um polinômio de grau
(ou seja, comportamento de cubic com coeficiente líder negativo).
Passo 2
Primeiro precisamos das derivadas. Vou explicar rapidinho a regra que uso: para uma potência
a derivada é
(regra do poder). A derivada de uma soma é a soma das derivadas e uma constante multiplicativa sai na frente.
Aplicando isso a
:
Fatorando para facilitar a análise:
Os pontos críticos são os pontos onde
ou onde
não existe (mas aqui
existe para todo
). Então resolvemos:
Passo 3
Agora vamos determinar sinais de
em cada intervalo entre as raízes
e
. Método: escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal de
.
- Intervalo
. Escolho . Então
Logo
em
⇒
é decrescente em
.
- Intervalo
. Escolho . Calculo aproximado:
Logo
em
⇒
é crescente em
.
- Intervalo
. Escolho . Então
Logo
em
⇒
é decrescente em
.
Conclusão (resumida):
decresce em
, cresce em
, e decresce em
.
Classificação dos pontos críticos pelo teste da derivada primeira:
- Em
a derivada muda de negativa para positiva (decrescente → crescente). Isso indica um mínimo local em . - Em
a derivada muda de positiva para negativa (crescente → decrescente). Isso indica um máximo local em .
Vamos também calcular os valores da função nesses pontos (útil para o gráfico):
Portanto mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 4
Agora a concavidade: usamos a segunda derivada. Intuitivamente, quando
a curva está virada para cima (concavidade para cima); quando
está virada para baixo.
Calcule
:
Colocando fator comum:
Encontramos possíveis pontos de inflexão quando
:
Agora o sinal de
:
- Para
(ex.: ), ⇒ concavidade para cima em . - Para
(ex.: ), ⇒ concavidade para baixo em .
Como
muda de sinal em
, esse ponto é realmente um ponto de inflexão. Calculamos o valor de
em
:
Colocando em comum denominador
:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Mais algumas informações úteis para o esboço do gráfico (isto ajuda a desenhar sem erro):
- Zeros da função (raízes): resolver
.
Então
(raiz de multiplicidade
) e
. Observação: raiz dupla em
indica que a curva toca o eixo
em
e não cruza (tangencia), enquanto em
a curva cruza o eixo.
- Comportamento nas extremidades (como
): como o termo dominante é (coeficiente negativo, grau ímpar), tem-se
Isso significa que, à esquerda muito grande a função vai para
e à direita muito grande vai para
.
Resumo dos pontos importantes para plotar:
- Zeros:
(multiplicidade ) e . - Mínimo local:
(é simultaneamente zero e mínimo local). - Máximo local:
. - Ponto de inflexão:
. - Concavidade: para cima em
, para baixo em . - Crescimento/decrescimento: decresce em
, cresce em , decresce em .
Passo 6
Como desenhar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova):
- Desenhar eixos
e . - Marcar os pontos-chave:
-
(zero e mínimo local; tangencia ao eixo devido à multiplicidade 2). -
(inflexão). -
(máximo local). -
(zero onde cruza o eixo).
-
- Trace a curva obedecendo:
- À esquerda, a curva vem de cima (pois
quando ), decrescendo até . - Em
a curva toca o eixo e sobe (mínimo local), com concavidade para cima até . - Em
a concavidade muda (inflexão), ainda subindo até o máximo em . - Após
a função decresce, agora com concavidade para baixo, cruza o eixo em e vai para quando .
- À esquerda, a curva vem de cima (pois
- Ligue suavemente os pontos respeitando a concavidade e monotonicidade em cada intervalo.
Esse é o esboço correto do gráfico de
.
Resposta
(a) Crescimento:
. Decrescimento:
e
.
(b) Concavidade para cima:
. Concavidade para baixo:
.
(c) Pontos críticos:
(mínimo local em
) e
(máximo local em
). Ponto de inflexão:
.
(d) Gráfico: curva cúbica com comportamento
e
; toca o eixo
em
(raiz dupla e mínimo local), passa por inflexão em
, atinge máximo em
, cruza o eixo em
e decresce para
.