Sobre a função polinômial P(x)=-6 x^{3}+3 x^{2}, responda o que se pede:
(a) (1 ponto)Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento.
(b) (1 ponto)Encontre os intervalos de concavidade.
(c) ( 0,5 pontos)Encontre os pontos críticos e de inflexão.
(d) ( 0,5 pontos)Construa o gráfico usando os itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial P(x)=-6x^{3}+3x^{2} e pede quatro coisas:
  • (a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
  • (b) os intervalos de concavidade;
  • (c) os pontos críticos e o(s) ponto(s) de inflexão;
  • (d) construir (descrever) o gráfico usando os itens anteriores.
Informações úteis que já temos imediatamente do enunciado:
  • A função explícita é P(x)=-6x^{3}+3x^{2}.
  • É um polinômio de grau 3 (ou seja, comportamento de cubic com coeficiente líder negativo).

Passo 2

Primeiro precisamos das derivadas. Vou explicar rapidinho a regra que uso: para uma potência x^{n} a derivada é n x^{n-1} (regra do poder). A derivada de uma soma é a soma das derivadas e uma constante multiplicativa sai na frente.
Aplicando isso a P(x)=-6x^{3}+3x^{2}:
P'(x)=\frac{d}{dx}(-6x^{3})+\frac{d}{dx}(3x^{2})=-6\cdot 3x^{2}+3\cdot 2x=-18x^{2}+6x.
Fatorando para facilitar a análise:
P'(x)=-18x^{2}+6x= -6x(3x-1).
Os pontos críticos são os pontos onde P'(x)=0 ou onde P'(x) não existe (mas aqui P' existe para todo x). Então resolvemos:
-6x(3x-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 3x-1=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora vamos determinar sinais de P'(x) em cada intervalo entre as raízes x=0 e x=\tfrac{1}{3}. Método: escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal de P'(x).
  • Intervalo (-\infty,0). Escolho x=-1. Então
P'(-1)=-18\cdot 1 +6(-1)=-18-6=-24<0.
Logo P'(x)<0 em (-\infty,0) P é decrescente em (-\infty,0).
  • Intervalo (0,\tfrac{1}{3}). Escolho x=0{,}1. Calculo aproximado:
P'(0{,}1)=-18(0{,}1)^{2}+6(0{,}1)=-18\cdot 0{,}01 +0{,}6=-0{,}18+0{,}6=0{,}42>0.
Logo P'(x)>0 em (0,\tfrac{1}{3}) P é crescente em (0,\tfrac{1}{3}).
  • Intervalo (\tfrac{1}{3},\infty). Escolho x=1. Então
P'(1)=-18+6=-12<0.
Logo P'(x)<0 em (\tfrac{1}{3},\infty) P é decrescente em (\tfrac{1}{3},\infty).
Conclusão (resumida): P decresce em (-\infty,0), cresce em (0,\tfrac{1}{3}), e decresce em (\tfrac{1}{3},\infty).
Classificação dos pontos críticos pelo teste da derivada primeira:
  • Em x=0 a derivada muda de negativa para positiva (decrescente → crescente). Isso indica um mínimo local em x=0.
  • Em x=\tfrac{1}{3} a derivada muda de positiva para negativa (crescente → decrescente). Isso indica um máximo local em x=\tfrac{1}{3}.
Vamos também calcular os valores da função nesses pontos (útil para o gráfico):
P(0)=-6\cdot 0^{3}+3\cdot 0^{2}=0,
P\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-6\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}+3\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=-6\cdot \tfrac{1}{27}+3\cdot \tfrac{1}{9}=-\tfrac{6}{27}+\tfrac{3}{9}=-\tfrac{2}{9}+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{2}{9}+\tfrac{3}{9}=\tfrac{1}{9}.
Portanto mínimo local em \bigl(0,0\bigr) e máximo local em \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9}\bigr).

Passo 4

Agora a concavidade: usamos a segunda derivada. Intuitivamente, quando P''(x)>0 a curva está virada para cima (concavidade para cima); quando P''(x)<0 está virada para baixo.
Calcule P''(x):
P''(x)=\frac{d}{dx}P'(x)=\frac{d}{dx}(-18x^{2}+6x)=-36x+6.
Colocando fator comum:
P''(x)=-36x+6=6(1-6x).
Encontramos possíveis pontos de inflexão quando P''(x)=0:
6(1-6x)=0 \quad\Rightarrow\quad 1-6x=0 \Rightarrow x=\tfrac{1}{6}.
Agora o sinal de P'':
  • Para x<\tfrac{1}{6} (ex.: x=0), P''(0)=6>0 ⇒ concavidade para cima em (-\infty,\tfrac{1}{6}).
  • Para x>\tfrac{1}{6} (ex.: x=1), P''(1)=-30<0 ⇒ concavidade para baixo em (\tfrac{1}{6},\infty).
Como P'' muda de sinal em x=\tfrac{1}{6}, esse ponto é realmente um ponto de inflexão. Calculamos o valor de P em x=\tfrac{1}{6}:
P\!\left(\tfrac{1}{6}\right)=-6\left(\tfrac{1}{6}\right)^{3}+3\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}=-6\cdot \tfrac{1}{216}+3\cdot \tfrac{1}{36}=-\tfrac{6}{216}+\tfrac{3}{36}=-\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{12}.
Colocando em comum denominador 36:
-\tfrac{1}{36}+\tfrac{3}{36}=\tfrac{2}{36}=\tfrac{1}{18}.
Portanto o ponto de inflexão é \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{18}\bigr).

Passo 5

Mais algumas informações úteis para o esboço do gráfico (isto ajuda a desenhar sem erro):
  • Zeros da função (raízes): resolver P(x)=0.
P(x)=-6x^{3}+3x^{2}=3x^{2}(1-2x).
Então x=0 (raiz de multiplicidade 2) e x=\tfrac{1}{2}. Observação: raiz dupla em x=0 indica que a curva toca o eixo x em x=0 e não cruza (tangencia), enquanto em x=\tfrac{1}{2} a curva cruza o eixo.
  • Comportamento nas extremidades (como x\to\pm\infty): como o termo dominante é -6x^{3} (coeficiente negativo, grau ímpar), tem-se
\lim_{x\to\infty}P(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}P(x)=+\infty.
Isso significa que, à esquerda muito grande a função vai para +\infty e à direita muito grande vai para -\infty.
Resumo dos pontos importantes para plotar:
  • Zeros: \bigl(0,0\bigr) (multiplicidade 2) e \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr).
  • Mínimo local: \bigl(0,0\bigr) (é simultaneamente zero e mínimo local).
  • Máximo local: \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9}\bigr).
  • Ponto de inflexão: \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{18}\bigr).
  • Concavidade: para cima em (-\infty,\tfrac{1}{6}), para baixo em (\tfrac{1}{6},\infty).
  • Crescimento/decrescimento: decresce em (-\infty,0), cresce em (0,\tfrac{1}{3}), decresce em (\tfrac{1}{3},\infty).

Passo 6

Como desenhar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova):
  1. Desenhar eixos x e y.
  2. Marcar os pontos-chave:
    • \bigl(0,0\bigr) (zero e mínimo local; tangencia ao eixo x devido à multiplicidade 2).
    • \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{18}\bigr) (inflexão).
    • \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9}\bigr) (máximo local).
    • \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) (zero onde cruza o eixo).
  3. Trace a curva obedecendo:
    • À esquerda, a curva vem de cima (pois P(x)\to+\infty quando x\to -\infty), decrescendo até x=0.
    • Em x=0 a curva toca o eixo e sobe (mínimo local), com concavidade para cima até x=\tfrac{1}{6}.
    • Em x=\tfrac{1}{6} a concavidade muda (inflexão), ainda subindo até o máximo em x=\tfrac{1}{3}.
    • Após x=\tfrac{1}{3} a função decresce, agora com concavidade para baixo, cruza o eixo em x=\tfrac{1}{2} e vai para -\infty quando x\to\infty.
  4. Ligue suavemente os pontos respeitando a concavidade e monotonicidade em cada intervalo.
Esse é o esboço correto do gráfico de P(x).

Resposta

(a) Crescimento: (0,\tfrac{1}{3}). Decrescimento: (-\infty,0) e (\tfrac{1}{3},\infty).
(b) Concavidade para cima: (-\infty,\tfrac{1}{6}). Concavidade para baixo: (\tfrac{1}{6},\infty).
(c) Pontos críticos: x=0 (mínimo local em \bigl(0,0\bigr)) e x=\tfrac{1}{3} (máximo local em \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9}\bigr)). Ponto de inflexão: \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{18}\bigr).
(d) Gráfico: curva cúbica com comportamento \lim_{x\to -\infty}P(x)=+\infty e \lim_{x\to\infty}P(x)=-\infty; toca o eixo x em \bigl(0,0\bigr) (raiz dupla e mínimo local), passa por inflexão em \bigl(\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{18}\bigr), atinge máximo em \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9}\bigr), cruza o eixo em \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) e decresce para -\infty.

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