Calcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2024}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to1}\frac{x^{2024}-1}{x-1}.
Este é um limite do tipo “ \tfrac{0}{0}” e podemos resolvê-lo usando a fatoração da diferença de potências ou, alternativamente, L’Hôpital. Aqui usaremos a fatoração.

Passo 2

Lembrando que, para todo inteiro n\ge1,
x^n - 1 = (x-1)\bigl(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\bigr),
no nosso caso n=2024, então
x^{2024}-1 = (x-1)\sum_{k=0}^{2023}x^k.
Logo
\frac{x^{2024}-1}{x-1} =\sum_{k=0}^{2023}x^k.

Passo 3

Como \sum_{k=0}^{2023}x^k é uma função contínua em x=1, basta substituir x=1: cada termo x^k vira 1, e há 2024 termos no somatório. Portanto
\lim_{x\to1}\sum_{k=0}^{2023}x^k =\sum_{k=0}^{2023}1 =2024.

Resposta

2024

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