Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados:
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
no ponto
. A gente vai trabalhar com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas, especialmente funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos diz a taxa de variação dela em um ponto específico. No nosso caso, queremos saber como
está mudando quando
está perto de 0.
Passo 3
Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função, como é o caso aqui (a função
está dentro do cosseno).
A regra da cadeia diz que se
onde
, então:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Substituindo de volta na derivada de
:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular
, ou seja, a derivada no ponto
:
Resposta
A derivada de
em
é igual a
.