Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados:
f(x)=cos (x^2) em x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto . A gente vai trabalhar com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções compostas, especialmente funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos diz a taxa de variação dela em um ponto específico. No nosso caso, queremos saber como está mudando quando está perto de 0.

Passo 3

Para derivar f'(x) = -sin(u) cdot u' , vamos usar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função, como é o caso aqui (a função está dentro do cosseno).
A regra da cadeia diz que se onde , então:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular u = x^2 implies u' = 2x :
f'(x) = -sin(x^2) cdot 2x = -2x sin(x^2)
Substituindo de volta na derivada de :

Passo 5

Finalmente, vamos calcular f'(0) = -2 cdot 0 cdot sin(0^2) = -2 cdot 0 cdot sin(0) = 0 , ou seja, a derivada no ponto :

Resposta

A derivada de em é igual a .

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