Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados:
f(x)=csc (cos (x)) em x=pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a derivada de f(x)=\csc(\cos x) no ponto x=\pi/2. O conteúdo envolve derivada de funções trigonométricas compostas e a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar f(x)=\csc(u) com u=\cos x, lembramos que dducsc u=-csc ucot u e ddxcos x=-sin x. Aplicando a regra da cadeia:
Basta multiplicar as derivadas:
f'(x)=ddxl[csc(cos x)r] =-csc(cos x)cot(cos x)cdot(-sin x) =sin x,csc(cos x),cot(cos x)

Passo 3

Agora avaliamos em x=\pi/2: temos sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0. Mas csc(0)=1/sin0 não existe, ou seja, f(\pi/2) já não está nem definida.

Passo 4

Como f(x) não existe em x=\pi/2, não faz sentido falar em derivada ali. Portanto, a derivada não existe nesse ponto.

Resposta

A derivada f’(\pi/2) não existe, pois f(\pi/2)=\csc(0) é indefinido e, portanto, não há derivada nesse ponto.

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