Calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados:
em
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a derivada de f(x)=\csc(\cos x) no ponto x=\pi/2. O conteúdo envolve derivada de funções trigonométricas compostas e a regra da cadeia.
Passo 2
Para derivar f(x)=\csc(u) com u=\cos x, lembramos que
e
. Aplicando a regra da cadeia:
Basta multiplicar as derivadas:
Basta multiplicar as derivadas:
Passo 3
Agora avaliamos em x=\pi/2: temos
e
. Mas
não existe, ou seja, f(\pi/2) já não está nem definida.
Passo 4
Como f(x) não existe em x=\pi/2, não faz sentido falar em derivada ali. Portanto, a derivada não existe nesse ponto.
Resposta
A derivada f’(\pi/2) não existe, pois f(\pi/2)=\csc(0) é indefinido e, portanto, não há derivada nesse ponto.