Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=1-raizx1+raizx.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=1-raizx1+raizx. Vamos usar a regra do quociente e a derivada de raizx=x^1/2, que é ddxraizx=12raizx.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares:
u(x)=1-raizx, v(x)=1+raizx
Calculamos suas derivadas:
u'(x)=-12raizx, v'(x)=12raizx

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=nu'(x),v(x)-nu(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Substituindo nu(x),nu'(x),v(x),v'(x) na expressão:
f'(x)=-12raizx(1+raizx)-(1-raizx)12raizx(1+raizx)^2

Passo 5

Simplificando o numerador:
-1+raizx+1-raizx2raizx=-22raizx=-1raizx
Logo,
f'(x)=-1raizx(1+raizx)^2=-1raizx,(1+raizx)^2

Resposta

-\frac{1}{\sqrt{x},(1+\sqrt{x})^2}

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