Encontre a equação da reta tangente aos gráficos das funções abaixo nos pontos dados.
, ponto:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a um gráfico em um ponto dado é a reta que “acaricia” o gráfico nesse ponto, ou seja, tem a mesma inclinação que o gráfico naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos conhecer o ponto de tangência e a inclinação da reta nesse ponto.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo esse valor na derivada:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta tangente, que é
, e conhecemos o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta que passa por um ponto
com inclinação
:
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais clara possível.
Passo 7
Distribuindo o
na expressão:
Simplificando o termo constante:
Então, a equação fica:
Passo 8
Para deixar a equação na forma y = mx + b, vamos somar
em ambos os lados:
Podemos simplificar os termos constantes:
Resposta
A equação da reta tangente é: