Encontre a equação da reta tangente aos gráficos das funções abaixo nos pontos dados.
f(x)=cos (x), ponto: (pi / 4, raiz2 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a um gráfico em um ponto dado é a reta que “acaricia” o gráfico nesse ponto, ou seja, tem a mesma inclinação que o gráfico naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos conhecer o ponto de tangência e a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente, vamos calcular a derivada da função f'(x) = -sin(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto f'(pi4) = -sin(pi4) . Substituindo esse valor na derivada:
sin(pi4) = raiz22
Sabemos que:
f'(pi4) = -raiz22
Portanto:

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente, que é y - y0 = m(x - x0) , e conhecemos o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com inclinação :

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
y - raiz22 = -raiz22(x - pi4)
Agora, vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais clara possível.

Passo 7

Distribuindo o y - raiz22 = -raiz22x + raiz22 cdot pi4 na expressão:
raiz22 cdot pi4 = raiz2pi8
Simplificando o termo constante:
y - raiz22 = -raiz22x + raiz2pi8
Então, a equação fica:

Passo 8

Para deixar a equação na forma y = mx + b, vamos somar y = -raiz22x + raiz2pi8 + raiz22 em ambos os lados:
raiz2pi8 + raiz22 = raiz2pi8 + 4raiz28 = raiz2(pi + 4)8
Podemos simplificar os termos constantes:

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = -raiz22x + raiz2(pi + 4)8

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