Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=1raiz2-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=1raiz2 - x^2. Vamos usar as regras de derivação de potência e de cadeia.

Passo 2

Primeiro reescrevemos f(x) como potência negativa:
f(x) = (2 - x^2)^-tfrac12
Isso facilita usar a regra do expoente.

Passo 3

Chamamos g(x)=2 - x^2. Então, pela diferenciação de polinômios temos
g'(x) = -2x

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia. Se h(u)=u^-1/2, então
$$
h’(u) = -\tfrac12,u^{-3/2} h'(u) = -tfrac12,u^-3/2
f’(x) = h’(g(x))\cdot g’(x) = -\tfrac12,(2 - x2){-3/2}\cdot(-2x)$$

Passo 5

Bastan simplificar os fatores constantes e o sinal negativo:
$$
f’(x) = x,(2 - x2){-3/2} = \frac{x}{(2 - x2){3/2}}$$

Resposta

f'(x)=x(2 - x^2)^3/2

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