Mostre que se
e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre limites de sequências. A gente precisa mostrar que se uma sequência
tem limite
e, ao mesmo tempo, também tem limite
, então necessariamente
e
são iguais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de definição de limite de uma sequência e ver como isso nos leva a concluir que
deve ser igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que, para qualquer número bem pequeno
, existe um número
tal que para todo
, a diferença entre
e
é menor que
. Ou seja,
.
Passo 3
De maneira semelhante, como
, então para o mesmo
, existe um número
tal que para todo
, a diferença entre
e
também é menor que
. Ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos escolher um
qualquer, por exemplo,
. Como
e
são limites da mesma sequência, para esse
, existe um
que satisfaz ambas as condições anteriores simultaneamente para todo
.
Passo 5
Para todo
, temos que:
Isso nos mostra que
, o que só é possível se
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que
deve ser igual a
.