Mostre que se lim n infty an=L e lim n infty an=M então L=M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre limites de sequências. A gente precisa mostrar que se uma sequência (an) tem limite L e, ao mesmo tempo, também tem limite M, então necessariamente L e M são iguais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de definição de limite de uma sequência e ver como isso nos leva a concluir que L deve ser igual a M.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que limn infty an = L. Isso quer dizer que, para qualquer número bem pequeno epsilon > 0, existe um número N tal que para todo n >= N, a diferença entre an e L é menor que epsilon. Ou seja, |an - L| < epsilon.

Passo 3

De maneira semelhante, como limn infty an = M, então para o mesmo epsilon > 0, existe um número N' tal que para todo n >= N', a diferença entre an e M também é menor que epsilon. Ou seja, |an - M| < epsilon.

Passo 4

Agora, vamos escolher um epsilon qualquer, por exemplo, epsilon = |L - M|2. Como L e M são limites da mesma sequência, para esse epsilon, existe um N'' que satisfaz ambas as condições anteriores simultaneamente para todo n >= N''.

Passo 5

Para todo n >= N'', temos que:
|L - M| = |L - an + an - M| <= |L - an| + |an - M| < epsilon + epsilon = 2epsilon = |L - M|
Isso nos mostra que |L - M| < |L - M|, o que só é possível se |L - M| = 0, ou seja, L = M.

Resposta

Portanto, mostramos que L deve ser igual a M.

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