Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia: y=\sqrt[3]{x^{2}}-2 x^{2}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\sqrt[3]{x^{2}}-2 x^{2}.
Informações relevantes que temos:
y = \underbrace{\sqrt[3]{x^{2}}}_{\text{primeiro termo}} \;-\; \underbrace{2x^{2}}_{\text{segundo termo}}.
A tarefa é diferenciar cada termo (usando a regra da cadeia quando necessário) e obter y'. Nada mais é pedido.
Passo 2
Lembra da regra da cadeia? Eu explico bem devagar: se você tem uma função composta \,h(x)=f(g(x)), a derivada é
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
O que isso significa, em palavras: primeiro você deriva a função externa f avaliando-a no interior g(x) e depois multiplica pela derivada da função interna g. Aqui:
f é a “parte de fora” (por exemplo t^{1/3});
g é a “parte de dentro” (por exemplo x^2).\n
Exemplo rápido e concreto: se h(x)=(3x+1)^5, tome f(t)=t^5 e g(x)=3x+1. Então f'(t)=5t^4 e g'(x)=3, logo
h'(x)=5(3x+1)^4\cdot 3 = 15(3x+1)^4.
Esse é o jeito que a gente vai usar no primeiro termo da nossa função.
Passo 3
Vamos olhar o primeiro termo \sqrt[3]{x^{2}}. Escrevemos ele como potência para ficar claro para aplicar regras:
Observação importante sobre x=0: esta fórmula usa potências negativas; precisamos checar a derivabilidade em x=0 separadamente (vou fazer isso no Passo 6).
Passo 5
Derivada do segundo termo -2x^{2}: aplicamos a regra do “constante vezes potência” (regra do produto com constante e a regra do poder). A derivada de x^{2} é 2x, então
\frac{d}{dx}(-2x^{2})=-2\cdot 2x=-4x.
Passo 6
Agora somamos as derivadas (a derivada de uma soma é a soma das derivadas). Para x\neq 0 obtemos
y'=\frac{2}{3}\,x^{-1/3}-4x.
Vamos verificar o ponto x=0. Use o quociente diferencial para o primeiro termo: para h>0,
As duas semi‑derivadas laterais não se aproximam de um número finito, portanto a derivada não existe em x=0. Conclusão: a expressão \frac{2}{3}x^{-1/3}-4x vale para todo x\neq 0, e em x=0 a derivada não existe.
Resposta
y'=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}-4x,\quad x\neq 0\n
A derivada não existe em x=0.