Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
y=\sqrt[3]{x^{2}}-2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\sqrt[3]{x^{2}}-2 x^{2}.
Informações relevantes que temos:
y = \underbrace{\sqrt[3]{x^{2}}}_{\text{primeiro termo}} \;-\; \underbrace{2x^{2}}_{\text{segundo termo}}.
A tarefa é diferenciar cada termo (usando a regra da cadeia quando necessário) e obter y'. Nada mais é pedido.

Passo 2

Lembra da regra da cadeia? Eu explico bem devagar: se você tem uma função composta \,h(x)=f(g(x)), a derivada é
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
O que isso significa, em palavras: primeiro você deriva a função externa f avaliando-a no interior g(x) e depois multiplica pela derivada da função interna g. Aqui:
  • f é a “parte de fora” (por exemplo t^{1/3});
  • g é a “parte de dentro” (por exemplo x^2).\n
    Exemplo rápido e concreto: se h(x)=(3x+1)^5, tome f(t)=t^5 e g(x)=3x+1. Então f'(t)=5t^4 e g'(x)=3, logo
h'(x)=5(3x+1)^4\cdot 3 = 15(3x+1)^4.
Esse é o jeito que a gente vai usar no primeiro termo da nossa função.

Passo 3

Vamos olhar o primeiro termo \sqrt[3]{x^{2}}. Escrevemos ele como potência para ficar claro para aplicar regras:
\sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}.
Aqui podemos identificar a composição:
f(t)=t^{1/3},\qquad g(x)=x^{2}.
Agora encontramos as derivadas de cada uma:
f'(t)=\frac{1}{3}t^{-2/3}, \qquad g'(x)=2x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big((x^{2})^{1/3}\big)=f'(g(x))\cdot g'(x) =\frac{1}{3}(x^{2})^{-2/3}\cdot 2x.

Passo 4

Agora simplificamos a expressão obtida. Primeiro note que
(x^{2})^{-2/3}=x^{-4/3},
então
\frac{1}{3}(x^{2})^{-2/3}\cdot 2x = \frac{2}{3}\,x\cdot x^{-4/3}.
Lembrando propriedades de potências, x\cdot x^{-4/3}=x^{1-4/3}=x^{-1/3}. Portanto, para x\neq 0,
\frac{d}{dx}\big(\sqrt[3]{x^{2}}\big)=\frac{2}{3}\,x^{-1/3}.
Observação importante sobre x=0: esta fórmula usa potências negativas; precisamos checar a derivabilidade em x=0 separadamente (vou fazer isso no Passo 6).

Passo 5

Derivada do segundo termo -2x^{2}: aplicamos a regra do “constante vezes potência” (regra do produto com constante e a regra do poder). A derivada de x^{2} é 2x, então
\frac{d}{dx}(-2x^{2})=-2\cdot 2x=-4x.

Passo 6

Agora somamos as derivadas (a derivada de uma soma é a soma das derivadas). Para x\neq 0 obtemos
y'=\frac{2}{3}\,x^{-1/3}-4x.
Vamos verificar o ponto x=0. Use o quociente diferencial para o primeiro termo: para h>0,
\frac{(h)^{2/3}-0}{h}=h^{-1/3}\to +\infty\quad\text{quando }h\to 0^+,
e para h<0,
\frac{(|h|)^{2/3}-0}{h}=\frac{|h|^{2/3}}{h}\to -\infty\quad\text{quando }h\to 0^-.
As duas semi‑derivadas laterais não se aproximam de um número finito, portanto a derivada não existe em x=0. Conclusão: a expressão \frac{2}{3}x^{-1/3}-4x vale para todo x\neq 0, e em x=0 a derivada não existe.

Resposta

y'=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}-4x,\quad x\neq 0\n
A derivada não existe em x=0.

Exercícios relacionados