Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
y=e^{x}-x

Passo 1

O enunciado nos dá a função y = e^{x} - x e pede para calcular as derivadas dessa função usando a regra da cadeia.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de y em função de x, sem parâmetros adicionais.

Passo 2

Regra básica de derivação de soma/diferença: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas das parcelas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\pm v(x)\big)=\frac{du}{dx}\pm\frac{dv}{dx}.
Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer. Vou aplicar isso em y=e^{x}-x: derivo e^{x} e derivo -x separadamente e depois subtraio.

Passo 3

Lembrete sobre a regra da cadeia (forma geral): se temos uma composição f(g(x)), então
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isso significa: derivo a função externa mantendo a interna, depois multiplico pela derivada da função interna. Vou aplicar essa ideia à função exponencial quando necessário.

Passo 4

Derivada de e^{x}. A função exponencial tem a propriedade de que a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}. Usando a regra da cadeia com u(x)=x (a parte interna é x), temos
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\cdot\frac{d}{dx}x.
Mas \frac{d}{dx}x=1, então
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\cdot 1=e^{x}.
Ou seja, a derivada de e^{x} é ela mesma.

Passo 5

Derivada de -x. Isso é direto: \frac{d}{dx}x=1, então
\frac{d}{dx}(-x)=-\frac{d}{dx}x=-1.

Passo 6

Agora aplico a regra da soma/diferença (Passo 2) juntando as derivadas calculadas:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}e^{x}-\frac{d}{dx}x = e^{x}-1.
Pronto — derivada encontrada.

Passo 7

Como reforço rápido: se tivesse y=e^{2x}, pela regra da cadeia teríamos
\frac{dy}{dx}=e^{2x}\cdot(2)=2e^{2x},
o que ilustra bem a necessidade de multiplicar pela derivada da parte interna.

Resposta

y' = e^{x} - 1

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