Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular as derivadas dessa função usando a regra da cadeia.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de em função de
, sem parâmetros adicionais.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
Passo 2
Regra básica de derivação de soma/diferença: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas das parcelas. Em símbolos:
Aqui
e
são funções quaisquer. Vou aplicar isso em
: derivo
e derivo
separadamente e depois subtraio.
Passo 3
Lembrete sobre a regra da cadeia (forma geral): se temos uma composição
, então
Isso significa: derivo a função externa mantendo a interna, depois multiplico pela derivada da função interna. Vou aplicar essa ideia à função exponencial quando necessário.
Passo 4
Derivada de
. A função exponencial tem a propriedade de que a derivada de
em relação a
é
. Usando a regra da cadeia com
(a parte interna é
), temos
Mas
, então
Ou seja, a derivada de
é ela mesma.
Passo 5
Derivada de
. Isso é direto:
, então
Passo 6
Agora aplico a regra da soma/diferença (Passo 2) juntando as derivadas calculadas:
Pronto — derivada encontrada.
Passo 7
Como reforço rápido: se tivesse
, pela regra da cadeia teríamos
o que ilustra bem a necessidade de multiplicar pela derivada da parte interna.