Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
y=2 e^{x}-2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = 2 e^{x} - 2 x^{2}.
Informações dadas: a função está escrita como soma de duas parcelas, uma envolvendo a função exponencial e^{x} multiplicada por 2 e outra sendo um polinômio -2x^{2}. A tarefa é obter \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x) usando a regra da cadeia quando for necessário.

Passo 2

Antes de começar, vamos rever as regras que vamos usar (com explicações simples e exemplos):
\text{(a) Regra da soma:}\quad \frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f'(x)+g'(x).
Isto significa que a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
\text{(b) Regra do fator constante:}\quad \frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x),
onde c é constante. Ou seja, podemos puxar constantes para fora da derivada.
\text{\text{(c)} Regra da cadeia (forma geral):}\quad \frac{d}{dx}\big(f(g(x))\big)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando: se uma função é composta, primeiro derivamos a função externa f avaliando-a na interna g(x), e multiplicamos pela derivada da função interna g'(x).
\text{(d) Derivada do exponencial:}\quad \frac{d}{dx}\big(e^{u}\big)=e^{u}\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui u representa a função interna. No caso u=x, temos \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\cdot 1 = e^{x}.
\text{(e) Regra do produto de potência (power rule):}\quad \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.ê
Por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 3

Aplicando essas regras à primeira parcela 2 e^{x}.
Por regra do fator constante, a derivada é 2 vezes a derivada de e^{x}:
\frac{d}{dx}\big(2 e^{x}\big)=2\cdot \frac{d}{dx}\big(e^{x}\big).
Agora usamos a regra da derivada do exponencial com u=x:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}\cdot\frac{d}{dx}(x)=e^{x}\cdot 1 = e^{x}.
Logo, a derivada da primeira parcela é
2 e^{x}.

Passo 4

Pequeno exemplo didático (para fixar a regra da cadeia): se tivéssemos e^{3x}, a derivada seria
\frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot \frac{d}{dx}(3x)=e^{3x}\cdot 3 = 3 e^{3x},
ou seja, a derivada do interno 3x aparece multiplicando.

Passo 5

Agora a segunda parcela -2 x^{2}. Usamos fator constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(-2 x^{2}\big) = -2 \cdot \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big).
Pela regra do power rule,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
Portanto a derivada da segunda parcela é
-2\cdot 2x = -4x.

Passo 6

Usando a regra da soma (linearidade), a derivada de y é a soma das derivadas das duas parcelas calculadas acima. Não esqueça: cada passo aplicou regra da cadeia onde necessário e regras básicas de derivação.

Resposta

\frac{dy}{dx}=2 e^{x}-4x

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