Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
y=e^{x}-\ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = e^{x} - \ln x.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é dada por duas parcelas: \,e^{x}\, e -\ln x.
  • A parcela \ln x só está definida para x>0. Portanto a função e sua derivada só fazem sentido para x>0.
  • A instrução é usar a regra da cadeia para obter a derivada.

Passo 2

Apresentando a regra da cadeia (de forma simples e intuitiva): se tivermos uma composição
y = f(g(x)),
então a derivada é dada por
\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
O que isso significa:
  • g(x) é a função “interna” (a que vai dentro).
  • f(u) é a função “externa” escrita em termos de u.
  • Primeiro derivamos a função externa f em relação a u (obtendo f'(u)), depois substituímos u=g(x), e por fim multiplicamos pela derivada da interna g'(x).
    Exemplo rápido e concreto para fixar: se y=(3x+1)^2, então f(u)=u^2, g(x)=3x+1, e
\frac{dy}{dx}=2\cdot(3x+1)\cdot 3 = 6(3x+1).
Isso mostra o passo a passo: derivar a externa e multiplicar pela derivada da interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia ao termo \,e^{x}\,.
Escrevemos \,e^{x}\, como uma composição com a função interna u(x)=x e externa f(u)=e^{u}.
  • Derivada da externa em relação a u: f'(u)=e^{u} (a derivada de e^{u} é ela mesma).
  • Derivada da interna: u'(x)=\dfrac{d}{dx}x = 1.
    Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{x} = f'(u)\cdot u'(x) = e^{u}\cdot 1 = e^{x}.
Observação prática: para uma forma mais geral, se tivéssemos e^{g(x)}, então \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x). Ex.: \dfrac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao termo -\ln x.
Escrevemos \ln x como composição com u(x)=x e f(u)=\ln u.
  • Derivada da externa em relação a u: f'(u)=\dfrac{1}{u} (a derivada de \ln u é 1/u).
  • Derivada da interna: u'(x)=\dfrac{d}{dx}x = 1.
    Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\cdot 1 = \frac{1}{x}.
Como o termo no y é -\ln x, a derivada é
\frac{d}{dx}\big(-\ln x\big) = -\frac{1}{x}.
Observação geral: para \ln(g(x)) vale \dfrac{d}{dx}\ln(g(x))=\dfrac{g'(x)}{g(x)}. Ex.: \dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{2}{2x}=\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Agora somamos as derivadas das parcelas (a derivada da soma/diferença é a soma/diferença das derivadas). Então,
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}e^{x} - \frac{d}{dx}\ln x = e^{x} - \frac{1}{x}.
Lembre-se: essa expressão vale apenas para x>0, por causa do domínio de \ln x.

Resposta

y' = e^{x} - \frac{1}{x}

Exercícios relacionados