Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é dada por duas parcelas:
e . - A parcela
só está definida para . Portanto a função e sua derivada só fazem sentido para . - A instrução é usar a regra da cadeia para obter a derivada.
Passo 2
Apresentando a regra da cadeia (de forma simples e intuitiva): se tivermos uma composição
então a derivada é dada por
O que isso significa:
-
é a função “interna” (a que vai dentro). -
é a função “externa” escrita em termos de . - Primeiro derivamos a função externa
em relação a (obtendo ), depois substituímos , e por fim multiplicamos pela derivada da interna .
Exemplo rápido e concreto para fixar: se, então , , e
Isso mostra o passo a passo: derivar a externa e multiplicar pela derivada da interna.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia ao termo
.
Escrevemos
como uma composição com a função interna
e externa
.
- Derivada da externa em relação a
: (a derivada de é ela mesma). - Derivada da interna:
.
Pela regra da cadeia,
Observação prática: para uma forma mais geral, se tivéssemos
, então
. Ex.:
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao termo
.
Escrevemos
como composição com
e
.
- Derivada da externa em relação a
: (a derivada de é ). - Derivada da interna:
.
Pela regra da cadeia,
Como o termo no
é
, a derivada é
Observação geral: para
vale
. Ex.:
.
Passo 5
Agora somamos as derivadas das parcelas (a derivada da soma/diferença é a soma/diferença das derivadas). Então,
Lembre-se: essa expressão vale apenas para
, por causa do domínio de
.