Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
A tarefa é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Primeiro conceito útil: derivada de soma (ou diferença). Se temos duas funções
e
, então
e
Aqui podemos aplicar isso com
e
. Então
Passo 3
Agora a regra da cadeia (explicação didática). A regra da cadeia serve para derivar composições de funções. Se
e
são funções e
, então
Aqui
é a derivada de
em relação à sua variável interna (chamemos essa variável de
), e
é a derivada da função interna
. Em símbolos: se
e
, então
Exemplo rápido para fixar: se
, tome
e
. Então
e
, logo
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia a
. Pense
como
com
e
. Sabendo que a derivada de
em relação a
é
e que
, pela regra da cadeia:
Ou seja, a derivada de
é
. (Observação: isso vale para
, domínio natural do
.)
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia a
. Podemos ver
como a composição
com
. A derivada de
em relação a
é
e
. Pela regra da cadeia:
(Nota: para potências inteiras simples, isso coincide com a regra do expoente — derivada de
é
.)
Passo 6
Voltando à combinação das derivadas usando o passo 2, temos
Podemos deixar assim ou, se preferir fatorar, escrever
mas a forma mais direta e comum é
.