Calcule as derivadas das funções abaixo pela regra da cadeia:
y=\ln x-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\ln x - x^{3}.
Informações dadas:
\text{função } y \text{ definida por } y(x)=\ln x - x^{3}.çã
A tarefa é encontrar y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Primeiro conceito útil: derivada de soma (ou diferença). Se temos duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x)
e
\frac{d}{dx}\big(u(x)-v(x)\big)=u'(x)-v'(x).
Aqui podemos aplicar isso com u(x)=\ln x e v(x)=x^{3}. Então
y'=\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)-\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big).

Passo 3

Agora a regra da cadeia (explicação didática). A regra da cadeia serve para derivar composições de funções. Se f e g são funções e h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui f' é a derivada de f em relação à sua variável interna (chamemos essa variável de u), e g'(x) é a derivada da função interna g. Em símbolos: se u=g(x) e h(x)=f(u), então
\frac{dh}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Exemplo rápido para fixar: se h(x)=(3x+2)^{4}, tome u=3x+2 e f(u)=u^{4}. Então f'(u)=4u^{3} e u'(x)=3, logo h'(x)=4u^{3}\cdot3=12(3x+2)^{3}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia a \ln x. Pense \ln x como f(u) com f(u)=\ln u e u(x)=x. Sabendo que a derivada de f(u)=\ln u em relação a u é
\frac{d}{du}\big(\ln u\big)=\frac{1}{u},
e que \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x)=1, pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{u}\cdot 1=\frac{1}{x}.
Ou seja, a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. (Observação: isso vale para x>0, domínio natural do \ln x.)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia a x^{3}. Podemos ver x^{3} como a composição f(u)=u^{3} com u(x)=x. A derivada de f(u)=u^{3} em relação a u é
\frac{d}{du}\big(u^{3}\big)=3u^{2},
e \frac{du}{dx}=1. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3u^{2}\cdot 1 = 3x^{2}.
(Nota: para potências inteiras simples, isso coincide com a regra do expoente — derivada de x^{n} é n x^{n-1}.)

Passo 6

Voltando à combinação das derivadas usando o passo 2, temos
y'=\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)-\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=\frac{1}{x}-3x^{2}.
Podemos deixar assim ou, se preferir fatorar, escrever
y'=\frac{1-3x^{3}}{x},
mas a forma mais direta e comum é \dfrac{1}{x}-3x^{2}.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{1}{x}-3x^{2}

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