Em cada um dos exemplos a seguir, verifique se a respectiva função
é contínua no ponto
. Se for o caso da função não ser contínua em
, diga se
é uma descontinuidade removível.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Se não for contínua, preciso dizer se a descontinuidade em
é removível.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Passo 2
Entender o que vale a função para
. Para qualquer
podemos simplificar a expressão
. Vou explicar isso com calma: dividir um número não nulo por ele mesmo dá
. Portanto, para todo
,
Logo, para
a função vale
. Isso significa que, na vizinhança de
(exceto no próprio
),
é constantemente
.
Passo 3
Calcular o limite
. Como para todo
temos
, quando
se aproxima de
tanto pela direita quanto pela esquerda os valores de
permanecem iguais a
. Então os dois limites laterais existem e são iguais a
. Assim,
Explicando a ideia: se numa vizinhança de
(exceto talvez no próprio ponto) a função é constante igual a
, o limite ao nos aproximarmos de
deve ser esse valor constante.
Passo 4
Comparar o limite com o valor da função no ponto. A definição de continuidade em um ponto diz:
é contínua em
se, e somente se,
Aqui encontramos
, enquanto o valor dado no ponto é
. Como
, a igualdade exigida pela continuidade não se verifica. Portanto
não é contínua em
.
Passo 5
Classificar a descontinuidade. Uma descontinuidade é dita removível quando o limite
existe e é finito, mas
. Aqui o limite existe e é finito (vale
), mas
. Logo a descontinuidade em
é removível. Para “remover” a descontinuidade basta redefinir o valor da função em
para coincidir com o limite: definir
. Após essa redefinição, teremos
e
, ou seja, a função fica contínua em
.
Resposta
Não é contínua em
; é uma descontinuidade removível (pois
e
).