Em cada um dos exemplos a seguir, verifique se a respectiva função f(x) é contínua no ponto x=x_{0}. Se for o caso da função não ser contínua em x=x_{0}, diga se x_{0} é uma descontinuidade removível.
(1,0 \mathrm{pts}) x_{0}=0 e f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{x}, x \neq 0 \\\ \frac{1}{2}, x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f é contínua no ponto x_{0}=0. Se não for contínua, preciso dizer se a descontinuidade em x_{0}=0 é removível.
Dados fornecidos:
f(x)=\begin{cases} \frac{x}{x}, & x\neq 0,\\[4pt] \frac{1}{2}, & x=0. \end{cases}]

Passo 2

Entender o que vale a função para x\neq0. Para qualquer x\neq0 podemos simplificar a expressão \frac{x}{x}. Vou explicar isso com calma: dividir um número não nulo por ele mesmo dá 1. Portanto, para todo x\neq0,
\frac{x}{x}=1.
Logo, para x\neq0 a função vale 1. Isso significa que, na vizinhança de 0 (exceto no próprio 0), f(x) é constantemente 1.

Passo 3

Calcular o limite \lim_{x\to0} f(x). Como para todo x\neq0 temos f(x)=1, quando x se aproxima de 0 tanto pela direita quanto pela esquerda os valores de f(x) permanecem iguais a 1. Então os dois limites laterais existem e são iguais a 1. Assim,
\lim_{x\to0} f(x)=1.
Explicando a ideia: se numa vizinhança de 0 (exceto talvez no próprio ponto) a função é constante igual a 1, o limite ao nos aproximarmos de 0 deve ser esse valor constante.

Passo 4

Comparar o limite com o valor da função no ponto. A definição de continuidade em um ponto diz: f é contínua em x_{0} se, e somente se,
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
Aqui encontramos \lim_{x\to0} f(x)=1, enquanto o valor dado no ponto é f(0)=\tfrac{1}{2}. Como 1\neq \tfrac{1}{2}, a igualdade exigida pela continuidade não se verifica. Portanto f não é contínua em x_{0}=0.

Passo 5

Classificar a descontinuidade. Uma descontinuidade é dita removível quando o limite \lim_{x\to x_{0}} f(x) existe e é finito, mas \lim_{x\to x_{0}} f(x)\neq f(x_{0}). Aqui o limite existe e é finito (vale 1), mas f(0)=\tfrac{1}{2}\neq1. Logo a descontinuidade em 0 é removível. Para “remover” a descontinuidade basta redefinir o valor da função em 0 para coincidir com o limite: definir f(0):=1. Após essa redefinição, teremos f(0)=1 e \lim_{x\to0} f(x)=1, ou seja, a função fica contínua em 0.

Resposta

Não é contínua em x_{0}=0; é uma descontinuidade removível (pois \lim_{x\to0}f(x)=1 e f(0)=\tfrac{1}{2}).

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