Calcule as derivadas das funções abaixo:
v(x)=\operatorname{tg}\left(e^{x}\right)+e^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
v(x)=\operatorname{tg}\!\bigl(e^{x}\bigr)+e^{\operatorname{tg} x}.
Informações dadas:
  • A função é soma de duas funções compostas: a primeira é \operatorname{tg} composta com e^{x}; a segunda é a exponencial e^{(\cdot)} composta com \operatorname{tg} x.
  • Objetivo: encontrar v'(x), a derivada de v em termos de x.

Passo 2

Lembrando as regras básicas que vamos usar (aulas rápidas aqui):
  • Regra da cadeia: se F(x)=f(g(x)), então
F'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Isto significa: deriva-se a função externa em relação ao seu argumento e multiplica-se pela derivada do argumento (a função interna).
  • Derivada da exponencial: para h(x)=e^{x},
h'(x)=e^{x}.
  • Derivada da tangente: para t(x)=\operatorname{tg} x,
t'(x)=\operatorname{sec}^{2}x,
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, logo \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}.
Essas fórmulas valem também quando aplicadas por composição, usando a regra da cadeia.

Passo 3

Derivada do primeiro termo: \operatorname{tg}\!\bigl(e^{x}\bigr).
  • Identifique a função externa f(u)=\operatorname{tg}u e a interna u(x)=e^{x}.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\!\bigl(e^{x}\bigr) = f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
  • Como u(x)=e^{x} e u'(x)=e^{x}, obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\!\bigl(e^{x}\bigr) = e^{x}\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{x}\bigr).
(Dito de outro jeito: deriva a tangente avaliada em e^{x} — dá \operatorname{sec}^{2}(e^{x}) — e multiplica por e^{x}.)

Passo 4

Derivada do segundo termo: e^{\operatorname{tg} x}.
  • Identifique a função externa F(v)=e^{v} e a interna v(x)=\operatorname{tg} x.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{tg} x} = F'\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x) = e^{v(x)}\cdot v'(x).
  • Como v(x)=\operatorname{tg} x e v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x, temos
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{tg} x} = e^{\operatorname{tg} x}\,\operatorname{sec}^{2}x.
(Explicando: derivada de e^{(\cdot)} conserva a própria exponencial e multiplica pela derivada do expoente.)

Passo 5

Agora somamos as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas). Assim
v'(x)=e^{x}\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{x}\bigr)+e^{\operatorname{tg} x}\,\operatorname{sec}^{2}x.
Se quiser, pode escrever \operatorname{sec}^{2} como \dfrac{1}{\cos^{2}}, ficando alternativas equivalentes:
v'(x)=\frac{e^{x}}{\cos^{2}\!\bigl(e^{x}\bigr)}+\frac{e^{\operatorname{tg} x}}{\cos^{2}x}.

Resposta

v'(x)=e^{x}\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(e^{x}\bigr)+e^{\operatorname{tg} x}\,\operatorname{sec}^{2}x

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