Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é soma de duas funções compostas: a primeira é
composta com ; a segunda é a exponencial composta com . - Objetivo: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Lembrando as regras básicas que vamos usar (aulas rápidas aqui):
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: deriva-se a função externa em relação ao seu argumento e multiplica-se pela derivada do argumento (a função interna).
- Derivada da exponencial: para
,
- Derivada da tangente: para
,
onde
, logo
.
Essas fórmulas valem também quando aplicadas por composição, usando a regra da cadeia.
Essas fórmulas valem também quando aplicadas por composição, usando a regra da cadeia.
Passo 3
Derivada do primeiro termo:
.
- Identifique a função externa
e a interna . - Pela regra da cadeia:
- Como
e , obtemos
(Dito de outro jeito: deriva a tangente avaliada em
— dá
— e multiplica por
.)
Passo 4
Derivada do segundo termo:
.
- Identifique a função externa
e a interna . - Pela regra da cadeia:
- Como
e , temos
(Explicando: derivada de
conserva a própria exponencial e multiplica pela derivada do expoente.)
Passo 5
Agora somamos as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas). Assim
Se quiser, pode escrever
como
, ficando alternativas equivalentes: