Seja
Mostre, usando as equações de C. R. que
existe em todos os pontos, exceto nos pontos do semi-eixo real não-negativo e que
.
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos a função
com
e
(ou seja, estamos escolhendo um ramo com corte no semi-eixo real não-negativo). O problema pede:
- Mostrar, usando as equações de Cauchy–Riemann, que
existe em todos os pontos do domínio indicado, exceto nos pontos do semi-eixo real não-negativo. - Mostrar que
As informações relevantes dadas são: a expressão em coordenadas polares de
, o domínio
(logo o semi-eixo real não-negativo corresponde a
ou
e o ponto
também fica fora do domínio dado).
Passo 2
Escrever
em partes real e imaginária e preparar as derivadas parciais. Definimos
onde
e
com
.
Para aplicar a regra da cadeia precisamos das derivadas parciais de
e
em termos de
. Como
e
, obtemos
e, derivando
,
Estas fórmulas valem para
(no ponto
não são válidas).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
relativamente a
e
. Tratando
e
como funções de
,
Derivando:
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Usando
substituímos as expressões de
e as derivadas de
.
Calculemos
:
Usando a identidade trigonométrica
com
e
,
Logo
Agora
:
Agora
:
Finalmente
:
Passo 5
Verificar as equações de Cauchy–Riemann e comentar regularidade. Comparando as expressões:
logo
. E
logo
. Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo ponto com
e
.
Além disso, as derivadas parciais
que obtivemos são contínuas nesses pontos (são combinações de
e funções trigonométricas), então por um teorema standard disso decorre que
é diferenciável (holomorfa) nesses pontos.
Por que não existe derivada no semi-eixo real não-negativo? Nos pontos com
ou
(isto é, no semi-eixo real não-negativo, incluindo
), a expressão para
não é contínua na vizinhança (há o salto de ramo do argumento) e as fórmulas acima para as derivadas parciais falham (ou não são continuáveis). Assim a função não é diferenciável nesses pontos no ramo escolhido. O ponto
também fica fora do domínio
.
Passo 6
Calcular explicitamente
a partir das derivadas parciais. Quando as equações de Cauchy–Riemann valem, a derivada complexa pode ser escrita como
Substituindo as expressões encontradas:
Lembre que
. Assim
Resposta
A derivada existe para todo
com
e
(isto é, em todos os pontos do domínio dado), exceto nos pontos do semi-eixo real não-negativo.