Seja f(z)=z^{1 / 2}=\sqrt{r}\left(\cos \frac{\theta}{2}+i \operatorname{sen} \frac{\theta}{2}\right), r>0<\theta<2 \pi Mostre, usando as equações de C. R. que f^{\prime}(z) existe em todos os pontos, exceto nos pontos do semi-eixo real não-negativo e que f^{\prime}(z)=\frac{1}{2 f(z)}.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos a função
f(z)=z^{1/2}=\sqrt{r}\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right),
com r>0 e 0<\theta<2\pi (ou seja, estamos escolhendo um ramo com corte no semi-eixo real não-negativo). O problema pede:
  1. Mostrar, usando as equações de Cauchy–Riemann, que f'(z) existe em todos os pontos do domínio indicado, exceto nos pontos do semi-eixo real não-negativo.
  2. Mostrar que
f'(z)=\frac{1}{2f(z)}.
As informações relevantes dadas são: a expressão em coordenadas polares de f, o domínio r>0,\;0<\theta<2\pi (logo o semi-eixo real não-negativo corresponde a \theta=0 ou \theta=2\pi e o ponto r=0 também fica fora do domínio dado).

Passo 2

Escrever f em partes real e imaginária e preparar as derivadas parciais. Definimos
u(x,y)=\Re f(z)=\sqrt{r}\cos\frac{\theta}{2},\qquad v(x,y)=\Im f(z)=\sqrt{r}\sin\frac{\theta}{2},
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \theta=\arg(z) com 0<\theta<2\pi.
Para aplicar a regra da cadeia precisamos das derivadas parciais de r e \theta em termos de x,y. Como x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, obtemos
r_x=\frac{x}{r}=\cos\theta,\qquad r_y=\frac{y}{r}=\sin\theta,
e, derivando \theta=\operatorname{atan2}(y,x),
\theta_x=-\frac{y}{r^{2}}=-\frac{\sin\theta}{r},\qquad \theta_y=\frac{x}{r^{2}}=\frac{\cos\theta}{r}.
Estas fórmulas valem para r>0 (no ponto r=0 não são válidas).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u e v relativamente a r e \theta. Tratando u(r,\theta) e v(r,\theta) como funções de r,\theta,
u(r,\theta)=r^{1/2}\cos\frac{\theta}{2},\qquad v(r,\theta)=r^{1/2}\sin\frac{\theta}{2}.
Derivando:
u_{r}=\frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2},\qquad u_{\theta}=-\frac{1}{2}r^{1/2}\sin\frac{\theta}{2},
v_{r}=\frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2},\qquad v_{\theta}=\frac{1}{2}r^{1/2}\cos\frac{\theta}{2}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter u_x,u_y,v_x,v_y. Usando
u_x=u_r r_x + u_\theta \theta_x,\qquad u_y=u_r r_y + u_\theta \theta_y,
v_x=v_r r_x + v_\theta \theta_x,\qquad v_y=v_r r_y + v_\theta \theta_y,
substituímos as expressões de r_x,r_y,\theta_x,\theta_y e as derivadas de u,v.
Calculemos u_x:
\begin{aligned} u_x &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2}\cdot\cos\theta + \Big(-\frac{1}{2}r^{1/2}\sin\frac{\theta}{2}\Big)\cdot\Big(-\frac{\sin\theta}{r}\Big)\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\Big(\cos\theta\cos\frac{\theta}{2}+\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}\Big). \end{aligned}
Usando a identidade trigonométrica \cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B) com A=\theta e B=\theta/2,
\cos\theta\cos\frac{\theta}{2}+\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\cos\frac{\theta}{2}.
Logo
u_x=\frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2}.
Agora v_x:
\begin{aligned} v_x &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2}\cdot\cos\theta + \frac{1}{2}r^{1/2}\cos\frac{\theta}{2}\cdot\Big(-\frac{\sin\theta}{r}\Big)\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\Big(\sin\frac{\theta}{2}\cos\theta-\cos\frac{\theta}{2}\sin\theta\Big)\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\Big(\frac{\theta}{2}-\theta\Big) = \frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\Big(-\frac{\theta}{2}\Big) = -\frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2}. \end{aligned}
Agora u_y:
\begin{aligned} u_y &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2}\cdot\sin\theta + \Big(-\frac{1}{2}r^{1/2}\sin\frac{\theta}{2}\Big)\cdot\frac{\cos\theta}{r}\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\Big(\cos\frac{\theta}{2}\sin\theta-\sin\frac{\theta}{2}\cos\theta\Big)\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2}. \end{aligned}
Finalmente v_y:
\begin{aligned} v_y &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2}\cdot\sin\theta + \frac{1}{2}r^{1/2}\cos\frac{\theta}{2}\cdot\frac{\cos\theta}{r}\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\Big(\sin\frac{\theta}{2}\sin\theta+\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta\Big)\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2}. \end{aligned}]

Passo 5

Verificar as equações de Cauchy–Riemann e comentar regularidade. Comparando as expressões:
u_x=\frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2},\qquad v_y=\frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2},
logo u_x=v_y. E
u_y=\frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2},\qquad v_x=-\frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2},
logo u_y=-v_x. Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo ponto com r>0 e 0<\theta<2\pi.
Além disso, as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y que obtivemos são contínuas nesses pontos (são combinações de r^{-1/2} e funções trigonométricas), então por um teorema standard disso decorre que f é diferenciável (holomorfa) nesses pontos.
Por que não existe derivada no semi-eixo real não-negativo? Nos pontos com \theta=0 ou \theta=2\pi (isto é, no semi-eixo real não-negativo, incluindo 0), a expressão para \theta não é contínua na vizinhança (há o salto de ramo do argumento) e as fórmulas acima para as derivadas parciais falham (ou não são continuáveis). Assim a função não é diferenciável nesses pontos no ramo escolhido. O ponto r=0 também fica fora do domínio r>0.

Passo 6

Calcular explicitamente f'(z) a partir das derivadas parciais. Quando as equações de Cauchy–Riemann valem, a derivada complexa pode ser escrita como
f'(z)=u_x+i v_x.
Substituindo as expressões encontradas:
\begin{aligned} f'(z)&= \frac{1}{2}r^{-1/2}\cos\frac{\theta}{2} \;+\; i\Big(-\frac{1}{2}r^{-1/2}\sin\frac{\theta}{2}\Big)\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}\Big(\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2}\Big)\\[4pt] &= \frac{1}{2}r^{-1/2}e^{-i\theta/2}. \end{aligned}
Lembre que f(z)=r^{1/2}e^{i\theta/2}. Assim
f'(z)=\frac{1}{2}\frac{e^{-i\theta/2}}{r^{1/2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{r^{1/2}e^{i\theta/2}}=\frac{1}{2f(z)}.]

Resposta

A derivada existe para todo z com r>0 e 0<\theta<2\pi (isto é, em todos os pontos do domínio dado), exceto nos pontos do semi-eixo real não-negativo.
f'(z)=\frac{1}{2f(z)}.

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