Mostre, pela definição, que a função f(z)=\bar{z}-3 \operatorname{Re}(z)+i é contínua no ponto z_{0}=3-2 i.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, pela definição de continuidade, que a função f definida por
f(z)=\overline{z}-3\operatorname{Re}(z)+i
é contínua no ponto z_{0}=3-2i.
Informações dadas:
f(z)=\overline{z}-3\operatorname{Re}(z)+i,\qquad z_{0}=3-2i.
A tarefa é: provar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se |z-z_{0}|<\delta, então |f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar a definição que vamos usar (explicando com calma): dizer que f é contínua em z_{0} significa exatamente isto: para cada \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
|z-z_{0}|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon.
Aqui |\cdot| é o valor absoluto complexo (módulo): se w=u+iv então |w|=\sqrt{u^{2}+v^{2}}.
Para manipular f(z) convenientemente, escrevemos z=x+iy e z_{0}=x_{0}+iy_{0}, onde
\operatorname{Re}(z)=x,\quad \overline{z}=x-iy.
Isso nos permite expressar as diferenças em termos das diferenças das coordenadas x-x_{0} e y-y_{0}.

Passo 3

Calculemos f(z)-f(z_{0}) explicitamente em termos de x,x_{0},y,y_{0}.
Primeiro, usando z=x+iy e z_{0}=x_{0}+iy_{0},
\overline{z}-\overline{z_{0}}=(x-x_{0})-i(y-y_{0}),
\operatorname{Re}(z)-\operatorname{Re}(z_{0})=x-x_{0}.
Portanto
f(z)-f(z_{0})=\big(\overline{z}-\overline{z_{0}}\big)-3\big(\operatorname{Re}(z)-\operatorname{Re}(z_{0})\big).
Substituindo as expressões em coordenadas:
f(z)-f(z_{0})=(x-x_{0})-i(y-y_{0})-3(x-x_{0}).
Agrupando termos em x-x_{0} e y-y_{0}:
f(z)-f(z_{0})=-2(x-x_{0})-i(y-y_{0}).

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo e buscar uma desigualdade útil que ligue |f(z)-f(z_{0})| a |z-z_{0}|.
Pelo que encontramos,
|f(z)-f(z_{0})|^{2} = \big(-2(x-x_{0})\big)^{2} + \big(- (y-y_{0})\big)^{2} = 4(x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2}.
Note que
4(x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} \le 4\big((x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2}\big).
Mas (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = |z-z_{0}|^{2}. Assim
|f(z)-f(z_{0})|^{2} \le 4|z-z_{0}|^{2}.
Tomando raiz quadrada (tudo não negativo), obtemos a desigualdade linear mais simples:
|f(z)-f(z_{0})| \le 2\,|z-z_{0}|.
Essa desigualdade é ótima para um argumento \varepsilon- \delta: ela mostra que a variação de f é controlada por 2 vezes a variação de z.

Passo 5

Agora fazemos o passo típico do argumento pela definição. Dado um \varepsilon>0, escolhemos
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Suponha que |z-z_{0}|<\delta. Pela desigualdade do passo anterior,
|f(z)-f(z_{0})| \le 2\,|z-z_{0}| < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, para este \delta vale a implicação exigida pela definição de continuidade.
Concluímos que f é contínua em z_{0}.

Resposta

A função f é contínua em z_{0}=3-2i.

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