Mostre, pela definição, que a função
é contínua no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, pela definição de continuidade, que a função
definida por
é contínua no ponto
.
Informações dadas:
A tarefa é: provar que, para todo
, existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Vou lembrar a definição que vamos usar (explicando com calma): dizer que
é contínua em
significa exatamente isto: para cada
existe
tal que
Aqui
é o valor absoluto complexo (módulo): se
então
.
Para manipular
convenientemente, escrevemos
e
, onde
Isso nos permite expressar as diferenças em termos das diferenças das coordenadas
e
.
Passo 3
Calculemos
explicitamente em termos de
.
Primeiro, usando
e
,
Portanto
Substituindo as expressões em coordenadas:
Agrupando termos em
e
:
Passo 4
Agora vamos calcular o módulo e buscar uma desigualdade útil que ligue
a
.
Pelo que encontramos,
Note que
Mas
. Assim
Tomando raiz quadrada (tudo não negativo), obtemos a desigualdade linear mais simples:
Essa desigualdade é ótima para um argumento
-
: ela mostra que a variação de
é controlada por
vezes a variação de
.
Passo 5
Agora fazemos o passo típico do argumento pela definição. Dado um
, escolhemos
Suponha que
. Pela desigualdade do passo anterior,
Portanto, para este
vale a implicação exigida pela definição de continuidade.
Concluímos que
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.