Calcule as derivadas das funções abaixo usando a definição:
(1,0 ponto) G(x)=raiz[4]x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
G(x)=raiz[4]x=x^1/4
usando a definição de derivada por limite do quociente. Vamos precisar da fórmula
G'(x)=limhto0G(x+h)-G(x)h
e da técnica de racionalização de radicais para simplificar o quociente.

Passo 2

Aplicando a definição, escrevemos
G'(x)=limhto0(x+h)^1/4-x^1/4h

Passo 3

Para eliminar a diferença de radicais no numerador, usamos a fatoração
a^4 - b^4 = (a-b),(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3),
com
a = (x+h)^1/4, b = x^1/4
Multiplicando numerador e denominador por a^3 + a^2b + ab^2 + b^3, obtemos
(x+h)^1/4-x^1/4h cdota^3 + a^2b + ab^2 + b^3a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 =(x+h)-xh,(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)

Passo 4

O numerador fica (x+h)-x = h, que cancela com o h do denominador, logo
(x+h)-xh,(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) =1a^3 + a^2b + ab^2 + b^3
Ao fazer hto0, temos ato x^1/4 e bto x^1/4, então
a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 =4,x^3/4
Portanto,
G'(x)=14,x^3/4

Resposta

G'(x)=14,x^3/4

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