( 2,0 pontos) Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função g(x)=4x no ponto (2,2), usando limite na definição de inclinação da reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função g(x)=4x no ponto (2,2).
Para isso precisamos usar a definição de inclinação da reta tangente via limite para calcular a derivada em x=2.

Passo 2

Calculamos a inclinação da reta tangente como
mt = limhto0 g(2+h)-g(2)h = limhto0 42+h - 2h
Simplificando o numerador:
42+h - 2 = 4 - 2(2+h)2+h = 4 - 4 - 2h2+h = -2h2+h
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mt = limhto0 -2h2+hh = limhto0 -22+h = -1

Passo 3

Com a inclinação mt = -1 e o ponto (2,2), a equação da reta tangente fica
y - 2 = -1,(x - 2) Longrightarrow y = -x + 4

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é mn = -1mt = 1.
Usando o ponto (2,2), a reta normal é
y - 2 = 1,(x - 2) Longrightarrow y = x

Resposta

Reta tangente: y = -x + 4
Reta normal: y = x

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