Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
f(x)=(e^x^2+4)^raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(e^x^2+4r)^raizx
ou seja, uma função na forma g(x)^h(x). Aqui vamos usar logaritmo para facilitar, pois assim transformamos potência variável em produto, aplicando depois regra do produto e cadeia.

Passo 2

Definimos
y = f(x)
e tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl((e^x^2+4)^raizxr) =raizx,lnl(e^x^2+4r)

Passo 3

Derivamos em x usando que ddxln y = y'y e regra do produto no lado direito:
y'y =ddxl(raizxr),lnl(e^x^2+4r) +raizx,ddxl[lnl(e^x^2+4r)r]
Agora:
ddxl(raizxr) =12raizx, ddxl[lnl(e^x^2+4r)r] =1e^x^2+4cdotddx(e^x^2+4) =2x,e^x^2e^x^2+4
Logo
y'y =12raizx;lnl(e^x^2+4r) +raizx;2x,e^x^2e^x^2+4

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y=f(x) para obter y':
y' =f(x),gl[ 12raizx;lnl(e^x^2+4r) +raizx;2x,e^x^2e^x^2+4 gr]
Como f(x)=(e^x^2+4)^raizx, concluímos a derivada.

Resposta

f'(x) =(e^x^2+4)^raizx !(12raizx;lnl(e^x^2+4r) +2x^3/2,e^x^2e^x^2+4)

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