Use a técnica geral na determinação dos coeficientes " a " a " d " na aproximação
d^2 varphid x^2|j approx a phij+b phij+1+c phij+2+d phij+3
e diga, também, qual é o erro de truncamento desta fórmula.
Exercício 1

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula de diferença finita para
d^2varphidx^2|j approx a,varphij+b,varphij+1+c,varphij+2+d,varphij+3,
usando apenas quatro pontos à direita de xj. Para isso vamos usar expansões de Taylor de varphij+1, varphij+2 e varphij+3 em torno de xj e escolher a,b,c,d de modo a anular os termos indesejados e reproduzir o termo de segunda derivada.

Passo 2

Escrevemos as séries de Taylor com passo uniforme h:
varphij+k =varphij +k,h,varphi'j +(k,h)^22!,varphi''j +(k,h)^33!,varphi'''j +(k,h)^44!,varphi^(4)j +cdots
Então a combinação
L =a,varphij +b,varphij+1 +c,varphij+2 +d,varphij+3
expande-se em potências de h como
L =(a+b+c+d),varphij +(b+2c+3d),h,varphi'j +b+4c+9d2,h^2,varphi''j +b+8c+27d6,h^3,varphi'''j +b+16c+81d24,h^4,varphi^(4)j +cdots

Passo 3

Impondo que L reproduza varphi''j e elimine os termos até a derivada terceira, obtemos o sistema
a+b+c+d=0, b+2c+3d=0, b+4c+9d2=1, b+8c+27d6=0

Passo 4

Resolvendo em ordem:
1. da quarta menos a segunda vem 6c+24d=0Rightarrow c=-4d.
2. na segunda: b+2(-4d)+3d=0Rightarrow b=5d.
3. na terceira: 5d+4(-4d)+9d=2Rightarrow -2d=2Rightarrow d=-1.
4. daí b=-5, c=4 e de a=-b-c-d vem a=2.
Portanto a combinação que dá a segunda derivada é
d^2varphidx^2|j approx 2,varphij -5,varphij+1 +4,varphij+2 -,varphij+3h^2

Passo 5

Para achar o erro de truncamento, olhamos o próximo termo não nulo na expansão de L, que é
b+16c+81d24,h^4,varphi^(4)j =-5+64-8124,h^4,varphi^(4)j =-2224,h^4,varphi^(4)j =-1112,h^4,varphi^(4)j
Como dividimos tudo por h^2, o termo de erro na aproximação de varphi'' é
-1112,h^2,varphi^(4)j +O(h^3),
ou seja, a fórmula é de ordem 2 em h.

Resposta

a = 2h^2,
b = -5h^2,
c = 4h^2,
d = -1h^2.
Erro de truncamento: O(h^2) (mais precisamente -tfrac1112,h^2,varphi^(4)j).

Exercícios relacionados