Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
f(x)=a raizcos (b x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = araizcos(bx)
onde a e b são constantes. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Escrevemos
f(x) = a,l(cos(bx)r)^tfrac12
e usamos que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Assim,
f'(x) = a ,ddx!l[l(cos(bx)r)^tfrac12r]

Passo 3

Para derivar l(cos(bx)r)^tfrac12, aplicamos a regra da cadeia com
g(u) = u^tfrac12, g'(u)=12raizu,
e u(x)=cos(bx). Então
ddxl(u(x)^tfrac12r) = 12raizu(x);u'(x) = 12raizcos(bx);ddx[cos(bx)]

Passo 4

Agora calculamos ddx[cos(bx)]. Sabemos que
ddxcos(u) = -sin(u),u',
portanto, com u=bx, temos u'=b e
ddx[cos(bx)] = -sin(bx),b = -bsin(bx)

Passo 5

Substituindo em ddxl[(cos(bx))^tfrac12r], obtemos
ddxl[(cos(bx))^tfrac12r] = 12raizcos(bx);(-bsin(bx)) = -bsin(bx)2raizcos(bx)

Passo 6

Voltando a f'(x), multiplicamos por a:
f'(x) = a ;l(-bsin(bx)2raizcos(bx)r) = -a,b,sin(bx)2raizcos(bx)

Resposta

f'(x) = -a,b,sin(bx)2raizcos(bx)

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