Determine o erro de truncamento do esquema de Lax-Wendroff aplicado à equação de advecção unidimensional
onde
. Escreva o erro em termos, somente, das derivadas em relação à variável espacial.
Exercício 8
Passo 1
O esquema de Lax–Wendroff para a equação de advecção unidimensional
com
, é de segunda ordem em espaço e tempo. Para achar o erro de truncamento local, vamos comparar a expansão de Taylor exata de
com a expansão em série espacial do lado direito do esquema.
Passo 2
Expandimos em Taylor em torno de
até ordem relevante:
Passo 3
Substituindo essas expansões no lado direito do esquema e coletando termos até
, obtemos
Passo 4
O erro de truncamento local
é a diferença entre a expansão exata e a do esquema:
Ao agrupar termos e usar
, os termos em
,
e
cancelam, restando como primeira contribuição não nula
Passo 5
Como
, podemos escrever o erro de truncamento local apenas em termos de
e derivadas espaciais:
Resposta
O erro de truncamento local do esquema de Lax–Wendroff é
expressando-se somente em termos de derivadas espaciais.