Determine o erro de truncamento do esquema de Lax-Wendroff aplicado à equação de advecção unidimensional
phij^n+1=phij^n-0,5 C(phij+1^n-phij-1^n)+0,5 C^2(phij-1^n-2 phij^n+phij+1^n)
onde C=u De<a t / De<a x. Escreva o erro em termos, somente, das derivadas em relação à variável espacial.
Exercício 8

Passo 1

O esquema de Lax–Wendroff para a equação de advecção unidimensional
phij^n+1=phij^n-tfrac12Cl(phij+1^n-phij-1^nr) +tfrac12C^2l(phij-1^n-2phij^n+phij+1^nr),
com C=uDe<a t/De<a x, é de segunda ordem em espaço e tempo. Para achar o erro de truncamento local, vamos comparar a expansão de Taylor exata de phij^n+1 com a expansão em série espacial do lado direito do esquema.

Passo 2

Expandimos em Taylor em torno de (xj,tn) até ordem relevante:
phij^n+1 =phi +De<a t,phit +tfracDe<a t^22,phitt +tfracDe<a t^36,phittt +O(De<a t^4),
phijpm1^n =phi pmDe<a x,phix +tfracDe<a x^22,phixx pmtfracDe<a x^36,phixxx +tfracDe<a x^424,phixxxx +O(De<a x^5)

Passo 3

Substituindo essas expansões no lado direito do esquema e coletando termos até De<a x^3, obtemos
phij^n-tfrac12Cl(phij+1^n-phij-1^nr) +tfrac12C^2l(phij-1^n-2phij^n+phij+1^nr) =phi - C,De<a x,phix +tfracC^22,De<a x^2,phixx -tfracC6,De<a x^3,phixxx +O(De<a x^4)

Passo 4

O erro de truncamento local T é a diferença entre a expansão exata e a do esquema:
T =l[phi+De<a t,phit+tfracDe<a t^22phitt +tfracDe<a t^36phittt+cdotsr] -l[phi- C,De<a x,phix+tfracC^22De<a x^2phixx -tfracC6De<a x^3phixxx+cdotsr]
Ao agrupar termos e usar C,De<a x=u,De<a t, os termos em phi, phix e phixx cancelam, restando como primeira contribuição não nula
T =l(-tfracu^3De<a t^36+tfracC,De<a x^36r)phixxx +O(De<a x^4) =tfracu,De<a t,De<a x^26,(1-C^2),phixxx +O(De<a x^4)

Passo 5

Como u,De<a t=C,De<a x, podemos escrever o erro de truncamento local apenas em termos de De<a x e derivadas espaciais:
T =C,(1-C^2)6,De<a x^3,phixxx +O(De<a x^4)

Resposta

O erro de truncamento local do esquema de Lax–Wendroff é
T=u,De<a t,De<a x^26,(1-C^2),phixxx Long<=ftrightarrow T=C,(1-C^2)6,De<a x^3,phixxx +O(De<a x^4),
expressando-se somente em termos de derivadas espaciais.

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