Seja f(x)=|x^2-2 x-2|, então f^prime(1)= ?
(A) 0
(B) 4
(C) -2
(D) 2
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=lvert x^2-2x-2rvert no ponto x=1. Isso envolve entender como derivar uma função valor absoluto, ou seja, analisar onde o argumento muda de sinal e usar a expressão correspondente em cada intervalo.

Passo 2

Definimos g(x)=x^2-2x-2 e resolvemos g(x)=0:
x^2-2x-2=0 Rightarrow x= 2pmraiz4+82 =1pmraiz3
Logo, g(x)<0 quando xin(1-raiz3,,1+raiz3). Como 1 pertence a esse intervalo, em torno de x=1 temos
f(x)= -l(x^2-2x-2r)=-x^2+2x+2

Passo 3

Para x nessa região, derivamos a expressão sem valor absoluto:
f'(x)=ddx(-x^2+2x+2)=-2x+2
Substituindo x=1,
f'(1)=-2cdot1+2=0

Resposta

(A) 0

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