Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
f(x)=\cos ^{3} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo, usando a Regra da Cadeia:
f(x)=\cos^{3} x^{3}.
Interpreto a notação como sendo a potência aplicada ao cosseno da potência, ou seja:
f(x)=\big(\cos(x^{3})\big)^{3}.
O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples, como funciona a Regra da Cadeia. Se uma função h é composta como
h(x)=G(U(x)),
então a derivada é
h'(x)=G'\big(U(x)\big)\cdot U'(x).
Aqui:
  • G é a função exterior (aquela que age sobre o resultado da interior),
  • U é a função interior,
  • G' e U' são as derivadas dessas funções em seus argumentos.
Essa regra pode ser aplicada várias vezes se houver várias camadas de composição (vai-se derivando de fora para dentro, multiplicando os fatores).

Passo 3

Identificar as camadas da nossa função \;f(x)=\big(\cos(x^{3})\big)^{3}:
  • Camada exterior: G(v)=v^{3}, onde v=\cos(x^{3}).
  • Camada do meio: U(w)=\cos(w), onde w=x^{3}.
  • Camada interior: w(x)=x^{3}.
Então f(x)=G\big(U(w(x))\big). Iremos aplicar a Regra da Cadeia três vezes (ou aplicar a versão com produto dos três derivados).

Passo 4

Calcular as derivadas de cada camada separadamente:
  • Para G(v)=v^{3}, tem-se
G'(v)=3v^{2}.
Aqui v é a variável de G, ou seja v=\cos(x^{3}).
  • Para U(w)=\cos(w), tem-se
U'(w)=-\sin(w).
Aqui w é a variável de U, ou seja w=x^{3}.
  • Para w(x)=x^{3}, tem-se
w'(x)=3x^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando os três fatores, avaliando cada derivada no seu argumento correspondente:
f'(x)=G'\big(U(w(x))\big)\cdot U'\big(w(x)\big)\cdot w'(x).
Substituindo os resultados:
f'(x)=3\big(\cos(x^{3})\big)^{2}\cdot\big(-\sin(x^{3})\big)\cdot 3x^{2}.
Simplificando os fatores numéricos e o sinal:
f'(x)=-9\,x^{2}\big(\cos(x^{3})\big)^{2}\sin(x^{3}).
Se preferir uma notação alternativa, pode escrever:
f'(x)=-9\,x^{2}\cos^{2}\big(x^{3}\big)\sin\big(x^{3}\big).
Dica rápida para a prova: identifique sempre as camadas (potência, função trigonométrica, potência de x) e derivate cada uma; depois multiplica tudo. Isso evita erros de sinal e de constantes.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (só para ficar mais seguro): a derivada tem fator x^{2} vindo de (x^{3})', tem um -\sin vindo da derivada do cosseno e tem 3(\cos)^{2} vindo da potência cúbica exterior — todos esses aparecem na expressão final, então a estrutura está coerente.

Resposta

-9 x^{2}\cos^{2}\big(x^{3}\big)\sin\big(x^{3}\big)

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