Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função abaixo, usando a Regra da Cadeia:
Interpreto a notação como sendo a potência aplicada ao cosseno da potência, ou seja:
O que se pede: encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma simples, como funciona a Regra da Cadeia. Se uma função
é composta como
então a derivada é
Aqui:
-
é a função exterior (aquela que age sobre o resultado da interior), -
é a função interior, -
e são as derivadas dessas funções em seus argumentos.
Essa regra pode ser aplicada várias vezes se houver várias camadas de composição (vai-se derivando de fora para dentro, multiplicando os fatores).
Passo 3
Identificar as camadas da nossa função
:
- Camada exterior:
, onde . - Camada do meio:
, onde . - Camada interior:
.
Então
. Iremos aplicar a Regra da Cadeia três vezes (ou aplicar a versão com produto dos três derivados).
Passo 4
Calcular as derivadas de cada camada separadamente:
- Para
, tem-se
Aqui
é a variável de
, ou seja
.
- Para
, tem-se
Aqui
é a variável de
, ou seja
.
- Para
, tem-se
Passo 5
Agora aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando os três fatores, avaliando cada derivada no seu argumento correspondente:
Substituindo os resultados:
Simplificando os fatores numéricos e o sinal:
Se preferir uma notação alternativa, pode escrever:
Dica rápida para a prova: identifique sempre as camadas (potência, função trigonométrica, potência de
) e derivate cada uma; depois multiplica tudo. Isso evita erros de sinal e de constantes.
Passo 6
Verificação rápida de consistência (só para ficar mais seguro): a derivada tem fator
vindo de
, tem um
vindo da derivada do cosseno e tem
vindo da potência cúbica exterior — todos esses aparecem na expressão final, então a estrutura está coerente.