Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
f(x)=3^{2 x+1}+\log _{2}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=3^{2x+1}+\log_{2}\!\left(x^{2}+1\right).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A função é a soma de duas parcelas: \,3^{2x+1}\, e \,\log_{2}\!\left(x^{2}+1\right).
  • Foi solicitada a derivada utilizando a Regra da Cadeia (ou seja, devemos tratar cada parcela composta por uma função exterior e uma interior).

Passo 2

O que é a Regra da Cadeia e como a vamos usar (explicação didática):
  • Regra da Cadeia (forma prática): se h(x)=g(u(x)), isto é, h é a composição da função exterior g com a função interior u, então
h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
  • Em palavras: derivar a função externa com a variável interna “congelada”, e multiplicar pelo derivado da função interna.
  • Dois casos que aparecem aqui:
    1. Exponencial com base fixa: se y=a^{u(x)} com a>0 constante, então
    \frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\cdot\ln(a)\cdot u'(x).Explicando: a^{u} derivada em relação a u é a^{u}\ln a; depois multiplica-se por u'(x) (Regra da Cadeia).
    2. Logaritmo em base b com b>0, b\neq1: se y=\log_b\!(u(x)), então é conveniente usar a identidade \log_b\!(u)=\dfrac{\ln u}{\ln b}. Assim \frac{d}{dx}\big(\log_b\!(u(x))\big)=\frac{1}{\ln b}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{u'(x)}{u(x)\ln b}.Explicando: derivada de \ln u é u'/u, e o fator 1/\ln b vem da mudança de base.

Passo 3

Derivando a primeira parcela \,3^{2x+1}.
  • Identificar função exterior e interior:
    • Função exterior: g(u)=3^{u}.
    • Função interior: u(x)=2x+1.
  • Calcular u'(x): u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+1)=2.
  • Aplicar a fórmula da exponencial com base a=3: \frac{d}{dx}\big(3^{2x+1}\big)=3^{2x+1}\cdot\ln 3\cdot u'(x).
  • Substituindo u'(x)=2: \frac{d}{dx}\big(3^{2x+1}\big)=3^{2x+1}\cdot\ln 3\cdot 2 = 2\ln 3\cdot 3^{2x+1}.

Passo 4

Derivando a segunda parcela \,\log_{2}\!\left(x^{2}+1\right).
  • Identificar função exterior e interior:
    • Função exterior: g(u)=\log_{2}\!(u).
    • Função interior: u(x)=x^{2}+1.
  • Calcular u'(x): u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
  • Aplicar a fórmula do logaritmo em base 2: \frac{d}{dx}\big(\log_{2}\!(x^{2}+1)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)\ln 2}.
  • Substituindo u(x)=x^{2}+1 e u'(x)=2x: \frac{d}{dx}\big(\log_{2}\!(x^{2}+1)\big)=\frac{2x}{(x^{2}+1)\ln 2}.

Passo 5

Juntando as derivadas das duas parcelas (derivada da soma é soma das derivadas).
  • Portanto a derivada de f é
f'(x)=2\ln 3\cdot 3^{2x+1}+\frac{2x}{(x^{2}+1)\ln 2}.
  • Se quiser, pode-se fatorar 2 em evidência:
f'(x)=2\left(\ln 3\cdot 3^{2x+1}+\frac{x}{(x^{2}+1)\ln 2}\right).
Ambas as formas estão corretas; a primeira é direta e clara.

Resposta

f'(x)=2\ln 3\cdot 3^{2x+1}+\dfrac{2x}{(x^{2}+1)\ln 2}

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