Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- A função é a soma de duas parcelas:
e . - Foi solicitada a derivada utilizando a Regra da Cadeia (ou seja, devemos tratar cada parcela composta por uma função exterior e uma interior).
Passo 2
O que é a Regra da Cadeia e como a vamos usar (explicação didática):
- Regra da Cadeia (forma prática): se
, isto é, é a composição da função exterior com a função interior , então
- Em palavras: derivar a função externa com a variável interna “congelada”, e multiplicar pelo derivado da função interna.
- Dois casos que aparecem aqui:
- Exponencial com base fixa: se
com constante, então
Explicando: derivada em relação a é ; depois multiplica-se por (Regra da Cadeia).
2. Logaritmo em basecom , : se , então é conveniente usar a identidade . Assim Explicando: derivada de é , e o fator vem da mudança de base. - Exponencial com base fixa: se
Passo 3
Derivando a primeira parcela
.
- Identificar função exterior e interior:
- Função exterior:
. - Função interior:
.
- Função exterior:
- Calcular
: - Aplicar a fórmula da exponencial com base
: - Substituindo
:
Passo 4
Derivando a segunda parcela
.
- Identificar função exterior e interior:
- Função exterior:
. - Função interior:
.
- Função exterior:
- Calcular
: - Aplicar a fórmula do logaritmo em base
: - Substituindo
e :
Passo 5
Juntando as derivadas das duas parcelas (derivada da soma é soma das derivadas).
- Portanto a derivada de
é
- Se quiser, pode-se fatorar
em evidência:
Ambas as formas estão corretas; a primeira é direta e clara.