Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=\left(x^{3}-6\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada:
f(x)=\left(x^{3}-6\right)^{5}.
O que é pedido: encontrar f'(x), isto é, a taxa de variação de f em relação a x. Informação disponível: a expressão explícita de f(x) em termos de x.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a regra da potências (para funções do tipo x^n). A fórmula é
\frac{d}{dx} x^{n} = n\,x^{n-1},
onde n é um número real e x é a variável. Explicando: a derivada de uma potência simples diminui o expoente em uma unidade e multiplica pelaquele expoente. Exemplo rápido: pela regra,
\frac{d}{dx} x^{3} = 3x^{2}.

Passo 3

Outra regra essencial aqui é a regra da cadeia (para funções compostas). Se tivermos uma função formada por uma função externa aplicada a uma função interna, isto é, h(x)=(u(x))^{n}, então a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{n} = n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
Explicando cada parte:
  • u(x) é a função interna (aquela que está “dentro”).
  • n é o expoente da função externa (a potência).
  • u'(x) é a derivada da função interna.
    Intuição leve: primeiro deriva a parte de fora como se u fosse uma variável (aplica a regra da potência), depois multiplica pela taxa de variação da parte de dentro (isso ajusta pela dependência de u em relação a x). Exemplo concreto: para (x^{2}+1)^{3},
\frac{d}{dx}(x^{2}+1)^{3}=3(x^{2}+1)^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1)=3(x^{2}+1)^{2}\cdot(2x)=6x(x^{2}+1)^{2}.

Passo 4

Identificar, na função dada, a função interna u(x) e a externa (a potência):
  • Função interna: u(x)=x^{3}-6.
  • Função externa: elevar a quinta potência, isto é, (\cdot)^{5} com n=5.
Agora calculemos a derivada da função interna:
u(x)=x^{3}-6 \quad\Rightarrow\quad u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-6)=\frac{d}{dx}x^{3}-\frac{d}{dx}6.
Usando a regra da potência para x^{3} e que a derivada de constante é zero,
u'(x)=3x^{2}-0=3x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia com u(x)=x^{3}-6 e n=5. Pela fórmula,
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{5}=5\bigl(u(x)\bigr)^{4}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{3}-6 e u'(x)=3x^{2},
f'(x)=5\bigl(x^{3}-6\bigr)^{4}\cdot 3x^{2}.

Passo 6

Simplificar a expressão multiplicando os coeficientes numéricos 5 e 3:
5\cdot 3=15,
portanto a forma simplificada é
f'(x)=15x^{2}\bigl(x^{3}-6\bigr)^{4}.
Observação: esta é a forma usual e compacta da derivada; também se poderia escrever f'(x)=3\cdot5\;x^{2}(x^{3}-6)^{4}, mas 15x^{2}(x^{3}-6)^{4} é mais direto.

Resposta

15x^{2}\bigl(x^{3}-6\bigr)^{4}

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