Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada:
O que é pedido: encontrar
, isto é, a taxa de variação de
em relação a
. Informação disponível: a expressão explícita de
em termos de
.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a regra da potências (para funções do tipo
). A fórmula é
onde
é um número real e
é a variável. Explicando: a derivada de uma potência simples diminui o expoente em uma unidade e multiplica pelaquele expoente. Exemplo rápido: pela regra,
Passo 3
Outra regra essencial aqui é a regra da cadeia (para funções compostas). Se tivermos uma função formada por uma função externa aplicada a uma função interna, isto é,
, então a derivada é
Explicando cada parte:
-
é a função interna (aquela que está “dentro”). -
é o expoente da função externa (a potência). -
é a derivada da função interna.
Intuição leve: primeiro deriva a parte de fora como sefosse uma variável (aplica a regra da potência), depois multiplica pela taxa de variação da parte de dentro (isso ajusta pela dependência de em relação a ). Exemplo concreto: para ,
Passo 4
Identificar, na função dada, a função interna
e a externa (a potência):
- Função interna:
. - Função externa: elevar a quinta potência, isto é,
com .
Agora calculemos a derivada da função interna:
Usando a regra da potência para
e que a derivada de constante é zero,
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia com
e
. Pela fórmula,
Substituindo
e
,
Passo 6
Simplificar a expressão multiplicando os coeficientes numéricos
e
:
portanto a forma simplificada é
Observação: esta é a forma usual e compacta da derivada; também se poderia escrever
, mas
é mais direto.