Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
f(x)=\cos \left(x^{3}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função f dada por
f(x)=\cos\!\bigl(x^{3}-4\bigr).
Informações relevantes que temos:
  • A função é uma composição: uma função cosseno aplicada a outra função x^{3}-4.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Identificar claramente as partes da composição (isso ajuda a aplicar a regra certa):
  • Função externa (em termos de uma variável auxiliar u): g(u)=\cos(u).
  • Função interna: u(x)=x^{3}-4.
    Ou seja,
f(x)=g\bigl(u(x)\bigr)=\cos\!\bigl(x^{3}-4\bigr).

Passo 3

Explicar a regra que vamos usar (cadeia) sem pular etapas:
Se f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), a regra da cadeia diz que a derivada é
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
O que isso significa em palavras: para derivar uma composição, primeiro deriva-se a função externa g em relação à sua variável u e avalia-se essa derivada em u(x); depois multiplica-se pelo derivado da função interna u(x). Aqui:
  • g'(u) é a derivada de g em relação a u.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 4

Derivar a função externa g(u)=\cos(u):
A derivada do cosseno em relação à sua variável é
g'(u)=\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Breve intuição: pequenas variações em u provocam variações em \cos(u) proporcionais a -\sin(u); essa é a fórmula padrão que se aprende para derivadas de funções trigonométricas.

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=x^{3}-4:
Usamos duas regras básicas:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}c=0 para constante c.
Aplicando:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-4\bigr)=\frac{d}{dx}x^{3}-\frac{d}{dx}4=3x^{2}-0=3x^{2}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados:
Temos g'(u)=-\sin(u) e u'(x)=3x^{2}. Substituindo u=u(x)=x^{3}-4 e multiplicando,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot 3x^{2}=-3x^{2}\sin\bigl(x^{3}-4\bigr).

Passo 7

Interpretação final e forma alternativa:
A derivada pode ser escrita de forma equivalente como
f'(x)=-3x^{2}\sin\!\bigl(x^{3}-4\bigr)
ou
f'(x)=-(3x^{2})\sin\!\bigl(x^{3}-4\bigr).
Essa é a resposta pronta para usar numa prova: aplicou-se a cadeia (derivada do cosseno) e a derivada do polinômio interno.

Resposta

f'(x)=-3x^{2}\sin\!\bigl(x^{3}-4\bigr)

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