Determine a derivada da função pelas regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
dada por
Informações relevantes que temos:
- A função é uma composição: uma função cosseno aplicada a outra função
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Identificar claramente as partes da composição (isso ajuda a aplicar a regra certa):
- Função externa (em termos de uma variável auxiliar
): . - Função interna:
.
Ou seja,
Passo 3
Explicar a regra que vamos usar (cadeia) sem pular etapas:
Se , a regra da cadeia diz que a derivada é
Se
O que isso significa em palavras: para derivar uma composição, primeiro deriva-se a função externa
em relação à sua variável
e avalia-se essa derivada em
; depois multiplica-se pelo derivado da função interna
. Aqui:
-
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Passo 4
Derivar a função externa
:
A derivada do cosseno em relação à sua variável é
A derivada do cosseno em relação à sua variável é
Breve intuição: pequenas variações em
provocam variações em
proporcionais a
; essa é a fórmula padrão que se aprende para derivadas de funções trigonométricas.
Passo 5
Derivar a função interna
:
Usamos duas regras básicas:
Usamos duas regras básicas:
- Regra do poder:
. - Derivada de constante:
para constante .
Aplicando:
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados:
Temos e
. Substituindo
e multiplicando,
Temos
Passo 7
Interpretação final e forma alternativa:
A derivada pode ser escrita de forma equivalente como
A derivada pode ser escrita de forma equivalente como
ou
Essa é a resposta pronta para usar numa prova: aplicou-se a cadeia (derivada do cosseno) e a derivada do polinômio interno.