1. Um carro percorreu 150 km em 1 h 30 min . Mostre que em algum momento o carro estava a uma velocidade maior que 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A distância percorrida pelo carro foi 150 km.
  • O tempo total gasto foi 1\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min}, ou seja 1,5 h.
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que em algum momento durante esse percurso a velocidade do carro foi maior que 80\\ \mathrm{km/h}.

Passo 2

Entendendo o conceito de velocidade média (uma mini-aula): a velocidade média \bar v em um intervalo de tempo é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em fórmula:
\bar v=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.â
Aqui, aplicando isso aos números dados:
\bar v=\frac{150}{1,5}=100\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação: ao longo do percurso a velocidade média foi de 100\\ \mathrm{km/h}. Isso já dá uma pista forte — se a média foi 100, como ela poderia ser 100 se o carro nunca tivesse passado de 80? Vamos formalizar isso.

Passo 3

Prova por contradição (método simples e direto): suponha, para chegar a uma contradição, que o carro NUNCA teve velocidade maior que 80\\ \mathrm{km/h}. Ou seja, em todos os instantes a velocidade instantânea satisfaz
v(t)\le 80\\ \mathrm{km/h}.
Se isso fosse verdade, então ao longo de 1,5 h a maior distância possível que o carro poderia ter percorrido é obtida viajando sempre a 80\\ \mathrm{km/h}. Logo a distância máxima possível seria
\text{distância máxima} = 80\times 1,5 = 120\\ \text{km}.âá

Passo 4

Comparando com o dado do enunciado: o carro percorreu 150 km, mas sob a hipótese (velocidade sempre \le 80) o máximo que poderia ter percorrido é 120 km. Temos uma contradição porque
120\\ \text{km} < 150\\ \text{km}.
Portanto a hipótese de que a velocidade nunca passou de 80\\ \mathrm{km/h} é falsa. Logo, em algum instante a velocidade foi maior que 80\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Comentário extra (útil para a prova): outra forma, um pouco mais “calculista”, é usar o Teorema do Valor Médio (TVM). Se s(t) é a posição do carro em função do tempo e s é contínua e derivável no intervalo considerado, o TVM garante a existência de um instante t_0 tal que
s'(t_0)=\frac{s(1,5)-s(0)}{1,5-0}=\frac{150}{1,5}=100\\ \mathrm{km/h}.
Assim haveria um instante com velocidade instantânea igual a 100\\ \mathrm{km/h}, que é obviamente maior que 80\\ \mathrm{km/h}. Este argumento exige uma noção de derivada; o argumento por contradição do Passo 3 é mais elementar e suficiente.

Resposta

Sim. Em algum momento a velocidade do carro foi maior que 80\\ \mathrm{km/h}.

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