- Um carro percorreu 150 km em 1 h 30 min . Mostre que em algum momento o carro estava a uma velocidade maior que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A distância percorrida pelo carro foi
km. - O tempo total gasto foi
, ou seja h.
O que o enunciado pede:
- Mostrar que em algum momento durante esse percurso a velocidade do carro foi maior que
.
Passo 2
Entendendo o conceito de velocidade média (uma mini-aula): a velocidade média
em um intervalo de tempo é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em fórmula:
Aqui, aplicando isso aos números dados:
Interpretação: ao longo do percurso a velocidade média foi de
. Isso já dá uma pista forte — se a média foi
, como ela poderia ser
se o carro nunca tivesse passado de
? Vamos formalizar isso.
Passo 3
Prova por contradição (método simples e direto): suponha, para chegar a uma contradição, que o carro NUNCA teve velocidade maior que
. Ou seja, em todos os instantes a velocidade instantânea satisfaz
Se isso fosse verdade, então ao longo de
h a maior distância possível que o carro poderia ter percorrido é obtida viajando sempre a
. Logo a distância máxima possível seria
Passo 4
Comparando com o dado do enunciado: o carro percorreu
km, mas sob a hipótese (velocidade sempre
) o máximo que poderia ter percorrido é
km. Temos uma contradição porque
Portanto a hipótese de que a velocidade nunca passou de
é falsa. Logo, em algum instante a velocidade foi maior que
.
Passo 5
Comentário extra (útil para a prova): outra forma, um pouco mais “calculista”, é usar o Teorema do Valor Médio (TVM). Se
é a posição do carro em função do tempo e
é contínua e derivável no intervalo considerado, o TVM garante a existência de um instante
tal que
Assim haveria um instante com velocidade instantânea igual a
, que é obviamente maior que
. Este argumento exige uma noção de derivada; o argumento por contradição do Passo 3 é mais elementar e suficiente.
Resposta
Sim. Em algum momento a velocidade do carro foi maior que
.