Calcule as derivadas das funções abaixo nos valores indicados, utilizando as propriedades das derivadas:
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ c_b(x) = \left(3x^3 - x^2\right) \ln x $ no ponto $ x = 1 $. Para isso, vamos usar as propriedades das derivadas, mais especificamente a regra do produto, que é útil quando temos a multiplicação de duas funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas na nossa expressão. No caso, temos:
- $ u(x) = 3x^3 - x^2 $
- $ v(x) = \ln x $
A derivada de um produto de duas funções, como $ u(x) $ e $ v(x) $, usa a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Vamos calcular agora as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
-
Derivada de $ u(x) $:
-
Derivada de $ v(x) $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto usando as derivadas que encontramos:
Substituindo $ u’(x) $, $ v(x) $ e $ v’(x) $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos a segunda parte:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Agora, queremos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $. Vamos substituir $ x $ por 1 na expressão:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então a primeira parte desaparece:
Resposta
A derivada da função no ponto $ x = 1 $ é igual a 2.