Calcule as derivadas das funções abaixo nos valores indicados, utilizando as propriedades das derivadas:
cb(x)=(3 x^3-x^2) ln x para x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ c_b(x) = \left(3x^3 - x^2\right) \ln x $ no ponto $ x = 1 $. Para isso, vamos usar as propriedades das derivadas, mais especificamente a regra do produto, que é útil quando temos a multiplicação de duas funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas na nossa expressão. No caso, temos:
  • $ u(x) = 3x^3 - x^2 $
  • $ v(x) = \ln x $
A derivada de um produto de duas funções, como $ u(x) $ e $ v(x) $, usa a regra do produto, que diz que:
u(x) = 3x^3 - x^2

Passo 3

Vamos calcular agora as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  • Derivada de $ u(x) $:
    u(x)
  • Derivada de $ v(x) $:
    v(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto usando as derivadas que encontramos:
cb'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo $ u’(x) $, $ v(x) $ e $ v’(x) $:
u'(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos a segunda parte:
(3x^3 - x^2) cdot 1x = 3x^3-1 - x^2-1 = 3x^2 - x
Então, a derivada fica:
cb'(x) = (9x^2 - 2x) ln x + 3x^2 - x

Passo 6

Agora, queremos avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $. Vamos substituir $ x $ por 1 na expressão:
x = 1
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então a primeira parte desaparece:
x

Resposta

A derivada da função no ponto $ x = 1 $ é igual a 2.

Exercícios relacionados