Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas:
x=y^2 e x=y+2

Passo 1

Temos a região limitada pelas curvas x=y^2 e x=y+2. O conteúdo é cálculo de área entre curvas usando integração em relação a y. Para resolver, vamos determinar os pontos de interseção e depois integrar a diferença entre as funções à direita e à esquerda de x.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo y^2 = y+2. Isso dá a equação quadrática y^2 - y - 2 =0, cuja solução é y=2 e y=-1.

Passo 3

Para saber qual curva está à direita (maior x) no intervalo [-1,2], testamos um valor intermediário, por exemplo y=0. Em x=y^2 temos x=0 e em x=y+2 temos x=2. Logo, x=y+2 fica à direita e x=y^2 à esquerda.

Passo 4

Assim, a área pedida é dada por:
Área = integraly=-1^2l[(y+2)-y^2r],dyÁ

Passo 5

Agora, calculamos a integral. Uma primitiva de (y+2)-y^2 é
F(y)=y^22+2y-y^33

Passo 6

Avaliando nos limites:
Para y=2:
F(2)=2^22+2cdot2-2^33=2+4-83=103
Para y=-1:
F(-1)=(-1)^22+2(-1)-(-1)^33=12-2+13=-76
Subtraindo:
Área=F(2)-F(-1)=103-l(-tfrac76r)=206+76=276=92Á

Resposta

A área da região é tfrac92.

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