Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas:
y=x^13,-1 <= x <= 8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região limitada pela curva y = x^1/3 entre x=-1 e x=8. Vamos usar o conceito de integral definida para área de uma curva e lembrar que quando a função fica abaixo do eixo x a integral dá valor negativo, mas para área devemos tomar valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, analisamos o sinal de y = x^1/3: para x<0, x^1/3 é negativo; em x=0 é zero; para x>0 é positivo. Então a região se divide em duas partes: de -1 a 0 a curva está abaixo do eixo x, e de 0 a 8 ela está acima.

Passo 3

A área total é a soma da área de -1 a 0 (integral de -x^1/3, para compensar o sinal) e de 0 a 8 (integral de x^1/3):
Área = integral-1^0 -,x^1/3,dx + integral0^8 x^1/3,dxÁ

Passo 4

Calculamos a primitiva de x^1/3. Usamos a regra de potência:
integral x^1/3,dx = x^4/34/3 = 34,x^4/3

Passo 5

Agora avaliamos cada integral:
Para a parte negativa:
integral-1^0 -,x^1/3,dx = -[34,x^4/3]-1^0 = -l(34,(0) - 34,(-1)^4/3r) = -l(0 - 34r) = 34
Para a parte positiva:
integral0^8 x^1/3,dx = [34,x^4/3]0^8 = 34,l(8^4/3 - 0r) = 34times 16 = 12

Passo 6

Somando as duas áreas temos 34 + 12 = 514.

Resposta

514

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