Calcule as derivadas das funções dadas
(a x^2+b x+c) /(A x^2+B x+C).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x)=a x^2+b x+cA x^2+B x+C
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente de derivadas: se p(x) e q(x) são diferenciáveis e q(x)neq0,
gl(pqgr)'(x) =p'(x),q(x)-p(x),q'(x)[q(x)]^2
Vamos precisar de p'(x) e q'(x).

Passo 2

Defina
p(x)=a x^2+b x+c
Derivando em x, usando a regra do polinômio, obtemos
p'(x)=2a x + b

Passo 3

Defina
q(x)=A x^2+B x+C
Derivando em x, temos
q'(x)=2A x + B

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =p'(x),q(x)-p(x),q'(x)[q(x)]^2 =(2a x + b)(A x^2+B x+C)-(a x^2+b x+c)(2A x + B)(A x^2+B x+C)^2

Passo 5

Basta expandir e simplificar o numerador. Fazendo as contas, o termo em x^3 se cancela e sobra
(2a x + b)(A x^2+B x+C)-(a x^2+b x+c)(2A x + B) =(aB-bA),x^2+2(aC-Ac),x+(bC-Bc)
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Resposta

f'(x) =(aB - bA),x^2 + 2,(aC - A c),x + (bC - B c)(A x^2+B x+C)^2

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