Questão 3. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Passo 1
Estamos encarando a Questão 3, que pede a solução geral de várias EDOs de segunda ordem não homogêneas usando o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Para cada equação linear de segunda ordem L[y]=f(x] com coeficientes constantes, o passo é: (i) achar a solução geral da homogênea y_h, (ii) montar as funções variáveis u_1’, u_2’ via as fórmulas de variação de parâmetros, (iii) integrar para obter y_p e somar y_h+y_p.
Passo 3
Itens (a)–(f): todas têm operador y’’+y. Então y_h=C_1,cos t+C_2,sin t e as fórmulas dão
Calculando cada integral, obtém-se os y_p indicados a seguir.
Passo 4
Itens (g)–(h): operador y’’-y, y_h=C_1et+C_2e{-t}, W=-2, e
Fazendo as integrais temos os y_p escritos abaixo.
Passo 5
Itens (i)–(j): operadores y’’-4y e y’’-9y com raízes ±2 e ±3, resp.; usa-se variação de parâmetros análoga e aparece, para termos exponenciais sobre t, funções especiais (Ei) ou integrais elementares.
Passo 6
Itens (k)–(l) e (m)–(n): operadores com derivada de primeira ordem. A fórmula geral é
onde y_1,y_2 são soluções independentes de L[y]=0 e W é o wronskiano.
Passo 7
Com todos esses passos e cálculos de integrais, chegamos às soluções gerais abaixo em cada item.
Resposta
(a) y=C_1\cos t+C_2\sin t+\cos t\ln|\cos t|+t\sin t
(b) y=C_1\cos t+C_2\sin t-\cos t\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|
(c) y=C_1\cos t+C_2\sin t+\tfrac12(\sin t-t\cos t)
(d) y=C_1\cos\theta+C_2\sin\theta+\theta\cos\theta-\sin\theta\bigl(1+\ln|\cos\theta|\bigr)
(e) y=C_1\cos t+C_2\sin t+\tfrac12-\tfrac16\cos2t
(f) y=C_1\cos t+C_2\sin t-1+\sin t\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|
(g) y=C_1et+C_2e{-t}+\frac{et(2t-1)-e{-t}(2t+1)}8
(h) y=C_1et+C_2e{-t}+\frac{e{2t}+2e{-2t}}6
(i) y=C_1e{2t}+C_2e{-2t}+\frac14e^{2t}\ln t-\frac14e^{-2t}\operatorname{Ei}(4t)
(j) y=C_1e{3t}+C_2e{-3t}+\frac{[-9t2-3t+\tfrac12]e{-3t}}{12}
(k) y=C_1e{-t}+C_2e{-2t}-e{-t}(t-\ln(1+et))+e{-2t}(,et-t+\ln(1+e^t),)
(l) y=(C_1+C_2t)e^t+t e^t\arctan t-\tfrac12et\ln(1+t2)
(m) y=C_1e{-t}+C_2e{-2t}-e{-2t}\sin(et)
(n) y=(C_1+C_2t)e^t;+ frac{t e^t}{!}\int e^{-t}\arctan t,dt;- frac{e^t}{!}\int t e^{-t}\arctan t,dt