Questão 3. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
(a) y^prime prime+y=sec t
(b) y^prime prime+y=tan t
(c) y^prime prime+y=sin t
(d) y^prime prime+y=sec theta tan theta
(e) y^prime prime+y=cos ^2 t
(f) y^prime prime+y=sec ^2 t
(g) y^prime prime-y=cosh t
(h) y^prime prime-y=sinh 2 t
(i) y^prime prime-4 y=e^2 tt
(j) y^prime prime-9 y=9 te^3 t
(k) y^prime prime+3 y^prime+2 y=11+e^t
(l) y^prime prime-2 y^prime+y=e^t1+t^2
(m) y^prime prime+3 y^prime+2 y=sin e^t
(n) y^prime prime-2 y^prime+y=e^t arctan t

Passo 1

Estamos encarando a Questão 3, que pede a solução geral de várias EDOs de segunda ordem não homogêneas usando o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Para cada equação linear de segunda ordem L[y]=f(x] com coeficientes constantes, o passo é: (i) achar a solução geral da homogênea y_h, (ii) montar as funções variáveis u_1’, u_2’ via as fórmulas de variação de parâmetros, (iii) integrar para obter y_p e somar y_h+y_p.

Passo 3

Itens (a)–(f): todas têm operador y’’+y. Então y_h=C_1,cos t+C_2,sin t e as fórmulas dão
yp=-cos tintegral f(t)sin t,dt+sin tintegral f(t)cos t,dt
Calculando cada integral, obtém-se os y_p indicados a seguir.

Passo 4

Itens (g)–(h): operador y’’-y, y_h=C_1et+C_2e{-t}, W=-2, e
yp=12e^tintegral f(t)e^-tdt-12e^-tintegral f(t)e^tdt
Fazendo as integrais temos os y_p escritos abaixo.

Passo 5

Itens (i)–(j): operadores y’’-4y e y’’-9y com raízes ±2 e ±3, resp.; usa-se variação de parâmetros análoga e aparece, para termos exponenciais sobre t, funções especiais (Ei) ou integrais elementares.

Passo 6

Itens (k)–(l) e (m)–(n): operadores com derivada de primeira ordem. A fórmula geral é
yp=-y1integraly2fWdt+y2integraly1fWdt,
onde y_1,y_2 são soluções independentes de L[y]=0 e W é o wronskiano.

Passo 7

Com todos esses passos e cálculos de integrais, chegamos às soluções gerais abaixo em cada item.

Resposta

(a) y=C_1\cos t+C_2\sin t+\cos t\ln|\cos t|+t\sin t
(b) y=C_1\cos t+C_2\sin t-\cos t\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|
(c) y=C_1\cos t+C_2\sin t+\tfrac12(\sin t-t\cos t)
(d) y=C_1\cos\theta+C_2\sin\theta+\theta\cos\theta-\sin\theta\bigl(1+\ln|\cos\theta|\bigr)
(e) y=C_1\cos t+C_2\sin t+\tfrac12-\tfrac16\cos2t
(f) y=C_1\cos t+C_2\sin t-1+\sin t\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|
(g) y=C_1et+C_2e{-t}+\frac{et(2t-1)-e{-t}(2t+1)}8
(h) y=C_1et+C_2e{-t}+\frac{e{2t}+2e{-2t}}6
(i) y=C_1e{2t}+C_2e{-2t}+\frac14e^{2t}\ln t-\frac14e^{-2t}\operatorname{Ei}(4t)
(j) y=C_1e{3t}+C_2e{-3t}+\frac{[-9t2-3t+\tfrac12]e{-3t}}{12}
(k) y=C_1e{-t}+C_2e{-2t}-e{-t}(t-\ln(1+et))+e{-2t}(,et-t+\ln(1+e^t),)
(l) y=(C_1+C_2t)e^t+t e^t\arctan t-\tfrac12et\ln(1+t2)
(m) y=C_1e{-t}+C_2e{-2t}-e{-2t}\sin(et)
(n) y=(C_1+C_2t)e^t;+ frac{t e^t}{!}\int e^{-t}\arctan t,dt;- frac{e^t}{!}\int t e^{-t}\arctan t,dt

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