Discuta a continuidade da função f dada por
f(x, y)=rll raiz[2024]x^3 y^3x^12+y^4, & se & (x, y) neq(0,0) 12, & se & (x, y)=(0,0)
Resposta: f é contínua em R^2-(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= raiz[2024]x^3y^3x^12+y^4,&(x,y)neq(0,0), 12,&(x,y)=(0,0),
e queremos discutir onde ela é contínua. Vamos usar a definição de continuidade em vários pontos de R^2.

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então x^12+y^4>0 e
  1. as funções xmapsto x^3, ymapsto y^3 e ymapsto y^4 são contínuas;
  2. a soma x^12+y^4 é contínua e nunca nula fora da origem;
  3. o quociente tfracx^3y^3x^12+y^4 é contínuo;
  4. finalmente a função tmapsto raiz[2024]t é contínua para t>0.
    Logo, a composição que define f em (x,y)neq(0,0) é contínua.

Passo 3

Para testar a continuidade em (0,0), devemos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) ;=; f(0,0)=12
Se esse limite existir e for igual a 12, então f seria contínua em (0,0). Caso contrário, é descontínua ali.

Passo 4

Escolhemos a família de retas no “espaço (x,y)” dada por y=k,x^3, com kin R. Então, para xneq0,
fl(x,kx^3r)^2024 =x^3,(k x^3)^3x^12+(k x^3)^4 =k^3,x^12x^12+k^4,x^12 =k^31+k^4
Assim
limxto0fl(x,kx^3r) =l(tfrack^31+k^4r)^!1/2024
Isso depende de k. Por exemplo, para k=0 o limite é 0; para k=1 o limite é 2^-1/2024neq0. Logo o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe.

Passo 5

Como o limite em (0,0) não existe (logo não é igual a 12), f é descontínua em (0,0). Em todos os outros pontos ela é contínua.

Resposta

A função f é contínua em R^2setminus(0,0) e descontínua em (0,0).

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