Discuta a continuidade da função
dada por
Resposta:
f é contínua em
R^2-(0,0)
Passo 1
O enunciado define a função
e queremos discutir onde ela é contínua. Vamos usar a definição de continuidade em vários pontos de
R^2 .
Passo 2
Se
(x,y)neq(0,0) , então
x^12+y^4>0 e
- as funções
,xmapsto x^3 eymapsto y^3 são contínuas;ymapsto y^4 - a soma
é contínua e nunca nula fora da origem;x^12+y^4 - o quociente
é contínuo;tfracx^3y^3x^12+y^4 - finalmente a função
é contínua paratmapsto raiz[2024]t .t>0
Logo, a composição que define emf é contínua.(x,y)neq(0,0)
Passo 3
Para testar a continuidade em
(0,0) , devemos verificar se
Se esse limite existir e for igual a
12 , então
f seria contínua em
(0,0) . Caso contrário, é descontínua ali.
Passo 4
Escolhemos a família de retas no “espaço
(x,y) ” dada por
y=k,x^3 , com
kin R . Então, para
xneq0 ,
Assim
Isso depende de
k . Por exemplo, para
k=0 o limite é
0 ; para
k=1 o limite é
2^-1/2024neq0 . Logo o limite de
f(x,y) quando
(x,y)to(0,0) não existe.
Passo 5
Como o limite em
(0,0) não existe (logo não é igual a
12 ),
f é descontínua em
(0,0) . Em todos os outros pontos ela é contínua.
Resposta
A função
f é contínua em
R^2setminus(0,0) e descontínua em
(0,0) .