(a) Dois alunos de cálculo 3 afirmaram o seguinte:
O aluno A : "O limite lim (x, y) (0,0) x^2025+y^2025x^2+y^2=lim (x, y) (0,0)[x^2025x^2+y^2+y^2025x^2+y^2]=0 ".
O aluno B : “O limite lim (x, y) (0,0) x^3 y^4raizx^2+y^2 não existe, pois a função g dada por g(x, y)= yraizx^2+y^2 não é limitada.”
Quais as afirmações estão corretas ? Justifique sua resposta.
(b) Por que o limite lim (x, y) (0,0)(x^2x^2+y^2) sen(xraizx^2+y^2)=0 ? justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de limites de funções de duas variáveis em (0,0). No item (a) queremos avaliar se os alunos A e B estão corretos sobre os respectivos limites. No item (b) é pedido justificar a afirmação de que
lim(x,y)to(0,0)x^2x^2+y^2;sen!l(xraizx^2+y^2r)=0
Para isso usaremos estimativas diretas e coordenadas polares para verificar existência e valor de cada limite.

Passo 2

Avaliação da afirmação do aluno A:
L=lim(x,y)to(0,0)x^2025+y^2025x^2+y^2 =lim(x,y)to(0,0)x^2025x^2+y^2 +y^2025x^2+y^2
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
l|x^2025r|=(rlvertcosthetarvert)^2025 =r^2025lvertcosthetarvert^2025,
e x^2+y^2=r^2. Logo
|x^2025x^2+y^2| =r^2025lvertcosthetarvert^2025r^2 =r^2023lvertcosthetarvert^2025 ;xrightarrow[rto0]0
O mesmo vale para o termo com y^2025. Portanto L=0 independentemente de theta, e o aluno A está correto.

Passo 3

Avaliação da afirmação do aluno B:
M=lim(x,y)to(0,0)x^3y^4raizx^2+y^2
Em polares x=rcostheta, y=rsintheta
M=limrto0 (rcostheta)^3(rsintheta)^4r =limrto0r^6cos^3theta;sin^4theta =0
Embora o aluno B tenha afirmado que não existe porque “ y/raizx^2+y^2” não é limitada, na verdade y/raizx^2+y^2=sintheta é limitada em [-1,1] e o fator r^6to0 anula tudo. Logo o limite existe e vale 0, e o aluno B está equivocado.

Passo 4

Análise do limite
N=lim(x,y)to(0,0) x^2x^2+y^2;sen!l(xraizx^2+y^2r)
Em coordenadas polares escrevemos
x^2x^2+y^2=cos^2theta, xraizx^2+y^2=costheta,
logo a função fica
f(r,theta)=cos^2theta;sen(costheta),
que não depende de r. Assim, ao irmos a (0,0) (i.e.\ rto0) o valor de f permanece cos^2thetasen(costheta), que varia com theta. Em particular não converge a um único valor e, portanto, esse limite não existe.

Resposta

(a) Está correto apenas o aluno A.
(b) O limite dado não existe, pois em coordenadas polares a expressão é cos^2thetasen(costheta), que depende de theta e não tende a 0 nem a valor único.

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