(a) Dois alunos de cálculo 3 afirmaram o seguinte:
O aluno : "O limite ".
O aluno : “O limite não existe, pois a função dada por não é limitada.”
Quais as afirmações estão corretas ? Justifique sua resposta.
(b) Por que o limite ? justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado trata de limites de funções de duas variáveis em . No item (a) queremos avaliar se os alunos A e B estão corretos sobre os respectivos limites. No item (b) é pedido justificar a afirmação de que
Para isso usaremos estimativas diretas e coordenadas polares para verificar existência e valor de cada limite.
Embora o aluno B tenha afirmado que não existe porque “y/raizx^2+y^2” não é limitada, na verdade y/raizx^2+y^2=sintheta é limitada em [-1,1] e o fator r^6to0 anula tudo. Logo o limite existe e vale 0, e o aluno B está equivocado.
Passo 4
Análise do limite
N=lim(x,y)to(0,0) x^2x^2+y^2;sen!l(xraizx^2+y^2r)
Em coordenadas polares escrevemos
x^2x^2+y^2=cos^2theta, xraizx^2+y^2=costheta,
logo a função fica
f(r,theta)=cos^2theta;sen(costheta),
que não depende de r. Assim, ao irmos a (0,0) (i.e.\ rto0) o valor de f permanece cos^2thetasen(costheta), que varia com theta. Em particular não converge a um único valor e, portanto, esse limite não existe.
Resposta
(a) Está correto apenas o aluno A.
(b) O limite dado não existe, pois em coordenadas polares a expressão é cos^2thetasen(costheta), que depende de theta e não tende a 0 nem a valor único.